§10. Квадратичные функции на плоскости и их матрицы

Квадратичной функцией на плоскости называется функция от двух переменных, которая в некоторой прямоугольной или аффинной системе координат определяется выражением

f (x,y)= a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₀x + 2a₂₀y + a₀₀. (1)

Из (1) следует, что квадратичная функция - это целая рациональная функция второй степени.

Все коэффициенты квадратичной функции обозначены одной буквой с двойными индексами, которые показывают, какие переменные перемножаются. Через а₁₂=а₂₁, а₁₀=а₀₁, а₂₀=а₀₂ обозначены соответственно половины коэффициентов при ху, х, у для симметрии последующих формул. Коэффициенты а₁₁, а₁₂, а₂₂ не равны нулю одновременно.

Однородный многочлен второй степени

φ(х,у)= а₁₁х² + 2а₁₂ху + а₂₂ y² (2) называется квадратичной формой. Матрица

М = а₁₁ а₁₂

а₂₁ а₂₂

называется матрицей квадратичной формы.

Так как а₁₂=а₂₁, то эта матрица симметрическая.

Ранг r матрицы М называется рангом квадратичной формы (2) и квадратичной функции (1). Если r=2, то квадратичная форма называется невырожденной; если r=1, то - вырожденной.

В курсе алгебры доказывается, что ранг матрицы не изменяется при замене базиса.

Замечание 1. Аналогично можно определить квадратичную форму от n переменных и её матрицу в n-мерном аффинном пространстве.

В дальнейшем нам понадобится теорема из курса алгебры, которую мы примем без доказательства.

Теорема 1. Произведём над переменными х и у квадратичной формы (2) линейное однородное преобразование переменных по формулам

х=с₁₁х'+с₁₂у',

(3)

y=с₂₁х'+с₂₂у'.

Квадратичная форма (2) примет вид:

φ'= а₁₁'(х')² + 2а₁₂'х'у' + а₂₂'(у')². (4)

Тогда между матрицами М= а₁₁ а₁₂ и M'= а₁₁' а₁₂' квадратичных а₂₁ а₂₂ а₂₁' а₂₂'

форм (2) и (4) и матрицей

С= с₁₁ с₁₂

c₂₁ c₂₂

преобразования (3) имеет место соотношение

М'=С^тМС, (5)

г де С^т= с₁₁ с₂₁ - матрица, полученная транспонированием матрицы С.

с₁₂ с₂₂

Замечание 2. Аналогичная теорема имеет место для квадратичной формы от n переменных (n>2) в n-мерном аффинном пространстве.

Следствие. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей и так как значение определителя не меняется при транспонировании матрицы, то из соотношения (5) следует, что

det M'=det M (det C)². (6)

Теорема 2. Если над переменными квадратичной функции (1) произведём линейное неоднородное преобразование

х=с₁₁х'+с₁₂у'+х₀,

(7)

у=с₂₁х'+с₂₂у'+у₀,

то функция (1) преобразуется в функцию

f'=a₁₁'(x')²+2a₁₂'x'y'+a₂₂'(y')²+2a₁₀'x'+2a₂₀'y'+a₀₀'

и при этом выполняется равенство

N^'=C₁^тNC₁, (8)

г де

a₁₁ a₁₂ a₁₀ a₁₁' a₁₂' a₁₀' c₁₁ c₁₂ x₀

N = a₂₁ a₂₂ a₂₀ , N'= a₂₁' a₂₂' a₂₀' , C₁ = c₂₁ c₂₂ y_{0 ,} (9)

a₁₀ a₂₀ a₀₀ a₁₀' a₂₀' a₀₀' 0 0 1

а С₁^т - матрица, полученная транспонированием матрицы С₁.

Доказательство. Функция f может быть получена из квадратичной формы от 3-х переменных

g=a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁₀xz+2a₂₀yz+a₀₀z²

при z=1, а неоднородное преобразование (7) из однородного преобразования

x=c₁₁x'+c₁₂y'+x₀z',

y=c₂₁x'+c₂₂y'+ y₀z', (10)

z=z'

при z'=1.

С помощью формул (10) квадратичная форма g преобразуется в квадратичную форму

g'=a₁₁'(x')²+2a₁₂'x'y'+a₂₂'(y')²+2a₁₀'x'z'+2a₂₀'y'z'+a₀₀(z')².

Так как для квадратичных форм g и g' от 3-х переменных и для линейного преобразования (10) имеем матрицы

a₁₁ a₁₂ a₁₀ a₁₁' a₁₂' a₁₀' c₁₁ c₁₂ x₀

N₁= a₂₁ a₂₂ a₂₀ , N₁'= a₂₁' a₂₂' a₂₀' , C₂= c₂₁ c₂₂ y_{0 ,}

a₁₀ a₂₀ a₀₀ a₁₀' a₂₀' a₀₀' 0 0 1

в точности совпадающие с матрицами (9), то в силу замечания к теореме 1 выполняется равенство (8).

Теорема доказана.

Используя следствие к теореме 1, из равенства (8) получим:

det N'=det N (detC₁)². (11)

Найдём det C₁:

c₁₁ c₁₂ x₀

c₂₁ c₂₂ y₀ = c₁₁ c₁₂ = det C.

0 0 1 c₂₁ c₂₂

П оэтому формулу (11) запишем в виде:

det N'=det N (detC)². (12)