§27. Поверхности вращения

Самые простые и наиболее употребляемые поверхности можно получить как поверхности вращения. Например, вращая пару параллельных прямых вокруг их оси, можно получить круговой цилиндр. Вращая эти же прямые вокруг прямой, перпендикулярной прямым, получаем две параллельные плоскости. Вращая гиперболу вокруг мнимой оси, получаем однополостный гиперболоид, вращая гиперболу вокруг действительной оси - двуполостный гиперболоид и т.д.

Дадим общее определение поверхности вращения и правило получения ее уравнения.

Поверхностью вращения называется поверхность, которая вместе с каждой своей точкой содержит всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой d, называемой осью вращения.

Теорема. Если линия , лежащая в плоскости и заданная в прямоугольной системе координат уравнениями

, , (1)

вращается вокруг оси , то уравнение поверхности вращения имеет вид:

. (2)

Д

z

оказательство. Пусть S - поверхность, полученная вращением линии вокруг оси , - произвольная точка этой поверхности. Проведем через нее плоскость . Получим линию - окружность, которая является пересечением плоскости и поверхности , - центр окружности, - ее радиус. Окружность пересекает плоскость в двух точках и . Так как = = , то точки и имеют следующие

координаты: , .

Линии принадлежит одна из этих точек, поэтому из (1) получаем:

или . (3)

Возведя обе части равенств (3) в квадрат, получим равенство , из которого следует, что, если точка , то ее координаты удовлетворяют уравнению (2).

Если точка не принадлежит поверхности S, то ни одна из точек и не принадлежит линии , т.е. и . Отсюда следует, что , т.е. координаты точки не удовлетворяют уравнению (2).

Итак, доказано, что уравнение (2) определяет поверхность .

Из доказанной теоремы следует правило получения уравнения поверхности вращения: если линия вращается вокруг оси , то из уравнения линии надо через выразить и , полученные равенства возвести в квадрат и сложить.

Уравнения и также определяют поверхности, образованные вращением линий, лежащих в координатных плоскостях, с осями вращения и соответственно.

Из поверхности вращения можно получать более общие виды поверхностей, подвергая поверхность вращения преобразованию сжатия.

Сжатием к плоскости называется такое преобразование пространства, при котором каждой точке ставится в соответствие такая точка , что 1) ; 2) если - точка пересечения прямой с плоскостью , то отношение сохраняет постоянное значение k, называемое коэффициентом сжатия.

§28. Цилиндрические поверхности

Рис.45. Цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными вектору .

Пусть в пространстве задана некоторая линия и ненулевой вектор . Через каждую точку линии проведем прямую, параллельную вектору . Образовавшаяся поверхность называется цилиндрической, линия называется направляющей, а каждая из параллельных прямых - образующей цилиндрической поверхности. Видим, что вместе с каждой своей точкой поверхность содержит и всю прямую .

Итак, поверхность, обладающая тем свойством, что вместе с каждой своей точкой она содержит и всю прямую, проходящую

через точку и параллельную данному ненулевому вектору , называется цилиндрической поверхностью.

Докажем теорему для частного случая расположения цилиндрических поверхностей относительно осей координат.

Теорема. Пусть в плоскости в системе линия задана уравнением

. (1)

Тогда в пространстве в системе координат уравнение (1) определяет цилиндрическую поверхность с направляющей линией и образующими, параллельными оси .

Рис.46. Цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси

Доказательство. Построим в плоскости линию и через каждую точку этой линии проведем прямую, параллельную оси . Получим поверхность . Покажем, что в пространстве уравнение (1) является уравнением поверхности .

Пусть точка лежит на поверхности . Образующая, проходящая через точку , пересекает линию в точке . Так как , то точка имеет координаты . Точка , поэтому координаты точки удовлетворяют уравнению (1) линии . Значит, получаем верное равенство:

. (2)

Но так как первые координаты точки такие же как точки , а координата z в уравнении (1) отсутствует, то из равенства (2) следует, что координаты точки также удовлетворяют уравнению (1).

Если точка , то точка . Следовательно, , что означает, что координаты точки не удовлетворяют уравнению (1).

Итак, уравнение (1) является уравнением цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси . По внешнему виду уравнение поверхности совпадает с уравнением направляющей линии , лежащей в плоскости .

Аналогично можно доказать, что уравнения и определяют цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям и и с направляющими лежащих в координатных плоскостях Oxz и Oyz соответственно.

Доказанная теорема дает следующий критерий цилиндрической поверхности: если в уравнении отсутствует одна переменная, то такое уравнение определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси, соответствующей отсутствующей переменной. Этот критерий не является необходимым признаком, а лишь достаточным.

Дадим краткий план составления уравнения цилиндрической поверхности в общем случае расположения ее в пространстве.

Пусть направляющая линия дана в общем виде системой уравнений:

(3)

Точка - произвольная точка поверхности, а - точка на направляющей, - ненулевой вектор, задающий направление образующих. Тогда из определения цилиндрической поверхности следует равенство:

, где - параметр. (4)

Из равенства (4) следуют равенства:

(5)

Так как точка лежит на направляющей линии , то подставив из (5) в (3) и исключив параметр , получим уравнение искомой поверхности.