§8. Исследование свойств параболы

Из уравнения у²=2рх следуют геометрические свойства параболы.

1. Начало координат - точка О(0,0) принадлежит параболе.

2. Так как ордината у входит в уравнение параболы в четной степени,

то, если М(х,у) - точка параболы, то М′(х,-у) тоже точка параболы, т.е. прямая Oх является осью симметрии параболы.

3. Точка О(0,0) является точкой пересечения параболы с осью

симметрии параболы. Эта точка называется вершиной параболы.

4. Все точки параболы принадлежат полуплоскости х≥0.

5. Если х неограниченно возрастает, то и │у│ неограниченно

возрастает.

6. Всякая прямая пересекает параболу не более чем в двух точках, так

как прямая определяется уравнением первой степени, а парабола - уравнением второй степени.

Проведенное исследование позволяет представить форму параболы у²=2рх (рис.13).

Рис.13. Парабола у²=2рх.

Здесь точка М - вершина квадрата, построенного на отрезке FD как на стороне, а точка М'=S_ох(М).

Замечание. Уравнения у²=-2рх, х²=2ру, х²=-2ру, где р>0, также определяют параболы, схематичные графики которых представлены на рис.13а, 13б, 13в.

Рис.13а Рис.13б Рис.13в

Парабола у²=-2рх. Парабола х²=2ру. Парабола х²=-2ру.

§9. Директориальное свойство эллипса, гиперболы, параболы

Теорема. Эллипс (гипербола) есть множество всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния от этой точки до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы равно эксцентриситету ε линии.

Докажем эту теорему для эллипса, так как для гиперболы доказательство аналогичное.

Пусть линия - эллипс, F₁ - фокус, d₁ - соответствующая этому фокусу директриса. В выбранной на рис.14 системе координат точка F₁ имеет координаты (с,о), а директриса d₁ определяется уравнением: х- =0. Пусть М(х,у) - точка эллипса, тогда согласно формуле (5) из §1 F₁M=│a– x│ и т.к. =ε, то F₁M=│a–εx│, а расстояние ρ(M,d₁)=│x- │= .

x

Рис.14. F₁ и d₁ – соответствующие фокус и директрисы эллипса.

Найдем отношение = =ε.

Обратно, пусть для некоторой точки М(х,у) плоскости выполняется отношение =ε. Докажем, что эта точка лежит на эллипсе.

Действительно, так как F₁M= , то

= =ε .

Отсюда

=│εx–a│.

Возведя обе части последнего уравнения в квадрат, получим:

(x–c)²+y²=(εx–a)²;

–2 + + = –2 + ;

( – )+ = ( – ) ;

+ = ;

+ =1.

Итак, М - точка эллипса.

Из определения параболы видно, что ее точки тоже обладают аналогичным свойством: отношение расстояния от каждой точки параболы до фокуса к расстоянию от нее до директрисы постоянно и равно единице. Поэтому число ε=1 называют эксцентриситетом любой параболы.

Доказанное свойство называется директориальным свойством эллипса, гиперболы и параболы. Это свойство можно принять в качестве единого определения всех трех линий, для каждой из которых

=ε. (1)

Если в формуле (1) 0<ε<1, то линия - эллипс, если ε>1, то линия - гипербола, если ε=1, то линия - парабола.

Директориальное свойство выясняет геометрический смысл эксцентриситета всех трех линий: эксцентриситет - это постоянное число равное отношению расстояния от каждой точки линии до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы.