§5. Исследование свойств гиперболы

Исследуя каноническое уравнение гиперболы

- =1, (1) приходим к следующим геометрическим свойствам.

1. Начало координат не принадлежит гиперболе.

2. Так как гиперболе (1) вместе с точкой М(х,у) принадлежат точки

М₁(-х,у), М₂(х,-у), М₃(-х,-у), то оси Oх и Oу являются осями

симметрии гиперболы (1), а точка О - центром симметрии или

центром гиперболы.

3. Точки пересечения гиперболы с осью Oх: А₁(a,0) и А₂(-a,0).

Действительных точек пересечения с осью Oу нет, так как при x=0

уравнение y²=-b² не имеет действительных корней. Поэтому ось Oх

называется действительной или фокальной осью гиперболы, а ось

Oу - мнимой осью гиперболы. Точки А₁ и А₂ называются вершинами

гиперболы, отрезки ОА₁=ОА₂=a, ОВ₁=ОВ₂=b действительными и

мнимыми полуосями соответственно.

4. Из уравнения (1) следует, что │х│≥ a, т.е. точки гиперболы лежат

вне полосы между прямыми х=-a и х=a, а, значит, график

гиперболы распадается на две ветви.

5. Исследуем график гиперболы в первой четверти, где x≥a, y≥0. Из

уравнения (1) находим у = . Отсюда видим, что при возрастании х от a до ∞ ордината у переменной точки М возрастает от 0 до ∞.

6. Отложим на мнимой оси точки В₁(0,b), В₂(0,-b) и проведем через

них прямые, параллельные действительной оси, а через точки А₁(a,0) и А₂(-a,0) проведем прямые, параллельные мнимой оси. Получим прямоугольник PQRS, который назовем характеристическим (рис.7).

Рис.7. PQRS- Характеристический прямоугольник гиперболы

Диагонали прямоугольника PQRS проходят через начало координат, поэтому их уравнения имеют вид: у=±kх. Так как k=tgα= , то получаем уравнения диагоналей: у=± х.

Исследуем пересечение гиперболы (1) со всеми прямыми d вида у=kх. Для этого у=kх подставим в уравнение (1) и после преобразований получим

x²(b² –k²a²)=a²b² . (2)

Корни х₁ и х₂ этого уравнения являются абсциссами точек пересечения гиперболы с прямой у=kх. При этом возможны случаи:

а) Если b² –k²a² >0, т.е. при

│k│< (3) прямая d пересекает гиперболу в двух действительных точках с абсциссами . Так как k=tgα, где α - угол, образованный прямой d с осью Oх, то условие (3) равносильно неравенству - < tgα < .

б) Если b²-k²a²<0, то уравнение (2) имеет мнимые корни, поэтому прямая d не пересекает гиперболу.

в) Если b²-k²a²=0, то уравнение (2) не имеет действительных корней т.к. принимает вид: x²∙0=a²b², где ab 0. Значит, прямая y=kx также не имеет общих точек с гиперболой. При этом .

Итак, пришли к выводу, что прямая у=kх пересекает гиперболу (1) в том и только в том случае, когда b² –k²a² >0, т.е. когда

Т

у

аким образом, точки гиперболы лежат во внутренних областях углов, которые заштрихованы на рис.8.

Рис.8. В заштрихованных областях расположены точки гиперболы.

7. Асимптотой кривой называется прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении кривой в бесконечность.

Теорема. Прямые у= х и у=- х (диагонали характеристического прямоугольника) являются асимптотами гиперболы (1).

Д

y

оказательство. Возьмем две точки в первой четверти с одинаковыми абсциссами: точка М(х,у₁) лежит на гиперболе, поэтому у₁= ; точка N(х,у₂) лежит на прямой у= х, поэтому у₂= х (рис.9).

N

M

b

x

a

-a

0

-b

Рис.9. M, N- точки, имеющие одинаковые абсциссы, М- точка, лежащая на гиперболе,N- точка, лежащая на прямой.

Найдем расстояние MN:

MN = │y₂-y₁│=│ x - │= │x- │= = = = .

Итак, MN= , причем, ab≠0. Отсюда видно, что при неограниченном возрастании х (x≥a) длина отрезка MN монотонно убывает и стремится к нулю, т.е. переменная точка М гиперболы неограниченно приближается к прямой у= х, а значит, эта прямая является асимптотой гиперболы. В силу симметричности гиперболы прямая у=- х также является асимптотой гиперболы.

На основании исследованных свойств изобразим гиперболу (рис.10).

Рис.10. Характеристический прямоугольник, асимптоты гиперболы - =1.