§3. Эксцентриситет и директрисы эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется число ε= , где с - половина фокального расстояния, а a - большая полуось.

Так как для эллипса 0≤c<a, то 0≤ε<1. От величины ε зависит форма эллипса. Действительно, если равенство b²=a²-c² разделим на a², то получим

= . (1)

Рассмотрим систему эллипсов с постоянной большей полуосью a. Из формулы (1) следует, что чем ближе ε к 1, тем меньше величина , а значит, и величина b. И наоборот, чем ближе ε к 0, тем больше b и b → a. При ε=0 b=a, т.е. эллипс будет окружностью. Таким образом, ε характеризует степень “сжатости” эллипса к оси Oх: чем больше ε, тем больше “сжат” эллипс.

Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные меньшей оси эллипса и отстоящие от центра эллипса на расстоянии d= , где a - большая полуось.

Так как для эллипса 0≤ε<1, то расстояние d>a, т.е. директрисы отстоят от центра эллипса дальше, чем его вершины, поэтому директрисы не пересекают эллипс (рис.5).

Р

у

ис.5. Прямые d₁ и d₂ - директрисы эллипса.

Из определения директрис следуют их уравнения: х = . Фокус и директриса, расположенные по одну сторону от меньшей оси, называются соответствующими друг другу. Для окружности ε=0, поэтому окружность не имеет директрис.

Замечание. Если в уравнении + =1 a<b, то фокальной осью эллипса будет ось Oу и для любой его точки М(х,у) выполняются равенства: F₁M+F₂M=2b, ε= , d= , уравнения директрис: у =± .

§4. Гипербола, каноническое уравнение

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Пусть М - произвольная точка гиперболы, F₁ и F₂ - ее фокусы, расстояние F₁F₂=2c назовем фокальным расстоянием, отрезки F₁M и F₂M - фокальными радиусами. Пусть дано постоянное число 2a<2c (a<c), тогда согласно определению гиперболы выполняется равенство:

│F₁M – F₂M│=2a. (1)

M

Рис.6.М- точка гиперболы, F₁ F₂ – фокусы.

Выберем систему координат O так, чтобы начало координат О было серединой отрезка F₁F₂, ↑↑ OF₁ (рис.6). Тогда F₁(с,0),F₂(-с,0) и, если точка М имеет координаты х, у, то

F₁М= , F₂М= . Из равенства (1) получаем: │ │=2a a.

Возведя последнее уравнение дважды в квадрат, выполнив алгебраические преобразования и введя обозначение

b²=c²-a², (2)

получим уравнение

- =1. (3)

Итак, доказано, что если точка М(х,у) принадлежит гиперболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3).

Можно доказать и обратное утверждение: если координаты некоторой точки М удовлетворяют уравнению (3), то эта точка принадлежит гиперболе, т.е. для нее выполняется равенство │F₁M – F₂M│=2a. Подставив

y²=b²( -1), полученное из уравнения (3), в выражения для фокальных радиусов F₁M и F₂M, получим:

F₁M=│ - │, F₂M=│ + │.

Из уравнения (3) следует, что │х│≥a, и, так как выражение >1, то при х>a имеем: F₁M= - , F₂M= + , a при х<-a: F₁M=- + ,

F₂M=- - . Следовательно, │F₁M – F₂M│=2a. Итак, уравнение (3) является уравнением гиперболы и называется каноническим уравнением, из которого следует, что гипербола является линией второго порядка.