§37. Аффинная классификация поверхностей второго порядка

Пусть поверхности второго порядка заданы в аффинном пространстве.

Две поверхности второго порядка принадлежат одному и тому же аффинному классу (аффинно-эквивалентны), если существует аффинное преобразование пространства, которое переводит одну поверхность в другую. Если же одна поверхность никаким аффинным преобразованием не может быть переведена в другую, то эти две поверхности второго порядка принадлежат различным аффинным классам (аффинно-неэквивалентны).

Теорема. Все поверхности второго порядка делятся на 17 аффинных классов (см.§25).

Доказательство.1. Точно также, как для линий второго порядка, можно доказать, что если две поверхности принадлежат одному из 17 классов, то они аффинным преобразованием пространства могут быть переведены одна в другую.

2. Для доказательства того, что поверхности из разных классов не могут быть переведены одна в другую никаким аффинным преобразованием, будем сравнивать поверхности, принадлежащие разным классам и указывать такие свойства, инвариантные относительно аффинных преобразований пространства, которыми обладает одна поверхность и не обладает никакая другая.

Эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры от других линейчатых поверхностей (конуса, однополостного гиперболоида, гиперболического параболоида) отличаются тем, что они образованы параллельными прямыми, а между собой отличаются тем, что сечения их плоскостями, не параллельными образующим, будут соответственно эллипсами, гиперболами, параболами.

Две пересекающиеся плоскости, две параллельные и две совпадающие плоскости не могут быть переведены ни в одну поверхность другого класса, так как свойства пересекаться, быть параллельными, совпадать являются аффинными инвариантами.

Две мнимые пересекающиеся плоскости содержат только одну действительную прямую - их линию пересечения, а никакая другая поверхность этим свойством не обладает.

Мнимый эллиптический цилиндр, мнимые параллельные плоскости, мнимый эллипсоид не содержат ни одной действительной точки, поэтому не могут быть переведены ни в одну действительную поверхность других классов, так как при аффинных преобразованиях пространства действительные точки переходят в действительные точки. Эти поверхности не могут быть переведены и друг в друга, так как мнимый эллиптический цилиндр имеет прямую центров, мнимые параллельные плоскости - плоскость центров, мнимый эллипсоид - единственный центр. Эти различия сохранятся при любом аффинном преобразовании.

Конус образован прямыми, которые проходят через одну точку и не лежат в одной плоскости, мнимый конус имеет единственную действительную точку - вершину.

Эллипсоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, в отличии от поверхностей других классов, не имеют прямолинейных образующих, а между собой отличаются тем, что эллипсоид - ограниченная поверхность, однополостный гиперболоид и эллиптический параболоид - неограниченные поверхности, но однополостный гиперболоид состоит из двух частей, а эллиптический параболоид - из одной части. Эти свойства сохраняются при любом аффинном преобразовании пространства.

Две оставшиеся линейчатые поверхности: однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид отличаются и от линейчатых поверхностей других классов и друг от друга тем, что первая поверхность имеет центр, а вторая - нет.

Таким образом доказано, что все поверхности второго порядка делятся на 17 аффинно-различных классов.

В евклидовом пространстве в указанных 17 аффинных классах могут быть подклассы: равные и неравные поверхности одного класса, поверхности вращения.