§ 31. Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

. (формула 12°§25) (1)

Положительные числа a, b, с называются полуосями эллипсоида. Если a, b, с различные, то эллипсоид называется трехосным.

Исследуем свойства эллипсоида по уравнению (1).

1. Точка O(0,0,0) не принадлежит эллипсоиду.

2. Переменные x, y, z входят в уравнение (1) в четных степенях, поэтому эллипсоид симметричен относительно всех координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Центр симметрии и оси симметрии эллипсоида называются соответственно его центром и осями.

3. Оси координат пересекают эллипсоид в точках которые называются вершинами эллипсоида.

4. Из уравнения (1) следует, что т.е. , , . Значит, все точки эллипсоида (кроме вершин) лежат внутри прямоугольного параллелепипеда со сторонами 2a, 2b, 2c. Вершины эллипсоида лежат на осях координат и на гранях параллелепипеда.

Форму эллипсоида исследуем методом сечений. Найдем сначала линии пересечения эллипсоида с координатными плоскостями.

1) Пересечем эллипсоид плоскостью Oxy: z=0. Подставим это значение z в уравнение (1) и получим линию пересечения . Отсюда следует, что - эллипс в системе координат Oxy с центром в начале координат и полуосями a и b.

2) Пересечем эллипсоид плоскостью Oxz: у=0. Получим линию . Значит, - эллипс с полуосями a и с в системе координат Oxz.

3) Пересечем эллипсоид плоскостью Oyz: х=0. Получим линию . Отсюда - эллипс с полуосями b и с в системе координат Oyz.

Далее пересекаем эллипсоид плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

4) Пересечем эллипсоид плоскостью ║ Oxy: z=h . Подставим это значение z в уравнение (1). Получим уравнение проекции сечения на плоскости Oxy:

. (2)

По следствию из §26 эта проекция равна линии пересечения эллипсоида и плоскости . При этом возможны случаи:

а) |h|<с, тогда 1 >0 и в сечении мы получим действительный эллипс

с полуосями , и центром на оси Oz. При уменьшении |h| полуоси и возрастают, и при =0, т.е. при Ошибка! Ошибка связи.=0 имеем случай 1).

б) =с. Уравнение (2) примет вид:

.

Этому уравнению в плоскости z=h удовлетворяет лишь одна точка (0,0,h), т.е. эллипсоид имеет с этой плоскостью лишь одну общую точку - вершину (0,0,с), если h=c, или С₂ (0,0,-с), если h=-с.

в) >с, тогда 1- <0 и уравнение (2) определит мнимый эллипс, т.е. в этом случае плоскость z=h не имеет с эллипсоидом общих действительных точек.

Аналогично можно показать, что сечениями эллипсоида (1) плоскостями x=h или y=h являются действительные эллипсы, мнимые эллипсы или точки в зависимости от величины h.

На основании исследованных свойств эллипсоида можно изобразить поверхность.

Рис.52. Сечения эллипсоида различным плоскостям.

Если две полуоси эллипсоида равны, например, a=b, то эллипсоид является эллипсоидом вращения. Он получается вращением эллипса

=1 вокруг оси Oz и имеет уравнение .

Если a=b=с, то эллипсоид является сферой х² + у² + z² =a². Таким образом, сфера - это частный случай эллипсоида.

Можно доказать, что любой трехосный эллипсоид можно получить из эллипсоида вращения с помощью сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения, или из сферы с помощью последовательного сжатия к двум взаимно перпендикулярным плоскостям симметрии сферы.

Уравнение определяет мнимый эллипсоид. (формула 13°§25).