Раздел іі. Поверхности второго порядка
§ 25. Понятие поверхности. Теорема о канонических уравнениях поверхностей второго порядка
Геометрическая
фигура, заданная в некоторой аффинной
системе координат пространства
уравнением
F(x, y, z) = 0, (1)
называется поверхностью.
Если выражение F(x, y, z) является многочленом n-ой степени от переменных x, y, z, то поверхность называется алгебраической поверхностью n-ого порядка.
Так же, как и для линий на плоскости, можно доказать, что порядок поверхности не зависит от выбора системы координат, т.е. порядок поверхности является аффинным инвариантом. Все поверхности первого порядка являются плоскостями. Сфера является примером поверхности второго порядка.
Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых в какой-либо аффинной системе координат удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=0,
(2)
где
(
=1,2,3;
=0,1,2,3)
- действительные числа, причем, коэффициенты
при членах второй степени не равны нулю
одновременно.
Уравнение (2) назовем общим уравнением поверхности второго порядка.
Пересечение двух
поверхностей в пространстве определяет
некоторую линию, т.е. в общем виде
аналитически линия может быть задана
системой уравнений
Теорема (без доказательства). Общее уравнение (2) поверхности второго порядка, заданное относительно аффинной системы координат, выражает одну из следующих семнадцати поверхностей:
1 ° Эллиптический
цилиндр
+
= 1.
2 ° Мнимый эллиптический цилиндр + = -1.
3 ° Вырожденный эллиптический цилиндр (две мнимые
пересекающиеся плоскости или прямая) + = 0.
4 ° Гиперболический цилиндр - = 1.
5 ° Вырожденный гиперболический цилиндр (две пересекающиеся
плоскости) - = 0.
6 ° Параболический
цилиндр
=
.
7 ° Две параллельные
плоскости
-
=
0
.
8 ° Две мнимые параллельные плоскости + = 0 .
9 ° Две совпадающие плоскости = 0.
10 ° Конус
+
-
=
0.
11 ° Мнимый конус + + = 0.
12 ° Эллипсоид + + = 1.
13 ° Мнимый эллипсоид + + = - 1.
14 ° Однополостный гиперболоид + - = 1.
15 ° Двуполостный гиперболоид + - = - 1.
16 ° Эллиптический
параболоид
+
=
.
17 ° Гиперболический параболоид - = .
Уравнения 1-17 называются каноническими уравнениями поверхностей второго порядка. Свойства поверхностей второго порядка удобно исследовать по их каноническим уравнениям, заданными в прямоугольной системе координат евклидова трехмерного пространства.
§ 26. Метод сечений
Для изучения формы поверхностей удобно использовать метод сечений. Сущность метода сечений состоит в следующем. Пусть поверхность S задана в некоторой системе координат уравнением
.
(1)
Пересечем эту поверхность координатными плоскостями и плоскостями, параллельными координатным плоскостям, и найдем линии пересечения поверхности с этими плоскостями. По виду полученных линий будем судить о форме поверхности. Система координат может быть любая, но удобно пользоваться прямоугольной. Применение метода сечений основано на следующей теореме.
Теорема.
Пусть в прямоугольной системе координат
поверхность S
задана
уравнением (1), а плоскость П
, параллельная плоскости Oxy
или совпадающая с ней, уравнением z=h.
Если поверхность S
пересекается с плоскостью П
по линии
,
то ортогональная проекция линии
на плоскость Oxy
в системе координат
имеет уравнение
.
(2)
Доказательство.
Пусть
- линия пересечения плоскости
и поверхности S,
а
-
ортогональная проекция линии
на плоскость Оxy.
Покажем, что координаты любой точки
удовлетворяют уравнению(2), а координаты
любой точки
не удовлетворяют уравнению (2). Пусть в
системе координат
точка
имеет координаты
,
а в пространстве эта точка имеет
координаты
.
Точка
,
и она является проекцией некоторой
точки
,
причем, точка
имеет
координаты
Точка
,
поэтому её координаты удовлетворяют
уравнению (1), т.е. получаем верное
равенство
Но последнее равенство означает, что
координаты точки
принадлежащей
,
также удовлетворяют уравнению (2). Пусть
в плоскости
дана
Рис.43. Линия - проекция линии .
точка
и пусть она является проекцией точки
Тогда точка
,
т.е.
.
Следовательно, координаты точки N
не удовлетворяют уравнению (2), т.е.
Значит, и координаты точки
не удовлетворяют равенству (2). Итак,
доказано, что если точка принадлежит
линии
,
то ее координаты удовлетворяют уравнению
(2), если же точка не принадлежит линии
,
то ее координаты не удовлетворяют
уравнению (2). Таким образом, уравнение
(2) является уравнением проекции
линии
на плоскость
.
Следствие. Линия
пересечения поверхности
и плоскости
,
параллельной плоскости
,
равна проекции
этой
линии на плоскость
(кратко:
).
Доказательство.
Так как плоскость
параллельна
плоскости
,
то можно рассмотреть параллельный
перенос на вектор
.
Тогда каждая точка линии
отобразится на какую либо точку линии
.
Таким образом, существует движение,
которое линию
переведет в линию
,
а это значит, что
.