§24. Аффинная классификация линий второго порядка

До сих пор линии второго порядка рассматривались на евклидовой плоскости относительно прямоугольной системы координат. Пусть теперь

линия второго порядка задана на аффинной плоскости. Согласно замечанию к §14 на аффинной плоскости, как и на евклидовой, существует также 9 типов линий второго порядка.

Две линии второго порядка называются аффинно-эквивалентными (принадлежат одному и тому же аффинному классу), если существует аффинное преобразование плоскости, переводящее одну линию в другую.

Если же никаким аффинным преобразованием одну линию нельзя перевести в другую, то линии называются аффинно-неэквивалентными или принадлежащими разным аффинным классам.

Теорема. Все линии второго порядка делятся на 9 аффинных классов: эллипсы; мнимые эллипсы; вырожденные эллипсы (пара мнимых пересекающихся прямых); гиперболы; вырожденные гиперболы (пара действительных пересекающихся прямых); параболы; пары действительных различных параллельных прямых; пары мнимых параллельных прямых; пары совпадающих прямых.

Доказательство. 1. Сначала докажем, что любые две линии, принадлежащие одному классу, аффинно-эквивалентны.

Пусть и - два эллипса, заданные каноническими уравнениями (вообще говоря, в разных системах координат):

: + = 1 и : + = 1.

Выполним преобразование плоскости по формулам:

f: = , = .

Матрица этого преобразования имеет вид:

М= , det M= 0,

поэтому является аффинным преобразованием. Подставим в уравнение эллипса . Эллипс преобразуется в эллипс : + = 1. Эллипсы и имеют одинаковые полуоси, поэтому они равны. Теперь эллипс можно перевести в эллипс каким либо движением. Композиция аффинного преобразования и движения является аффинным преобразованием. Таким образом, любой эллипс аффинным преобразованием можно перевести в любой другой эллипс .

Аналогичное доказательство для гиперболы.

Пусть теперь и - две параболы:

: = и : ( ) = .

Выполним преобразование подобия по формулам:

= , = .

Тогда парабола переходит в параболу

: = : = .

Парабола имеет тот же параметр , что и парабола . Теперь параболу можно перевести в параболу движением. Таким образом, все параболы не только аффинно-эквивалентны, но и подобны.

Для остальных линий доказательство несложное (выполнить самостоятельно).

2. Теперь докажем, что, если линии принадлежат разным классам, то они аффинно-неэквивалентны. Для этого для каждой линии будем указывать такие свойства, которые инвариантны относительно аффинного преобразования плоскости и которыми не обладает никакая другая линия из другого класса.

Эллипс - единственная линия второго порядка, лежащая в ограниченной области и содержащая бесчисленное множество точек. Эти свойства являются аффинными инвариантами, поэтому образом эллипса может быть только эллипс.

Гипербола - единственная линия второго порядка, имеющая две ветви и не содержащая трех точек, лежащих на одной прямой. Эти свойства аффинно-инвариантны, поэтому аффинным образом гиперболы будет гипербола.

Парабола - единственная линия второго порядка, которая является неограниченной линией, имеет одну ветвь, не содержит трех точек, лежащих на одной прямой. Эти свойства сохраняются при аффинных преобразованиях.

Так как при аффинном преобразовании действительные точки переходят в действительные точки, мнимые - в мнимые, центр линии - в центр линии, то остальные линии принадлежащие разным классам, будут иметь различные характеристики, поэтому будут аффинно-неэквивалентны.

Например, мнимый эллипс неэквивалентен мнимым параллельным прямым, так как мнимый эллипс имеет единственный центр, а мнимые параллельные прямые - прямую центров.

В аффинном пространстве линии одного аффинного класса считаются одинаковыми по своим свойствам.

В евклидовом же пространстве в указанных 9 классах линий могут быть свои подклассы: равные и неравные линии одного класса; в классе эллипсов - подкласс окружностей; в классе гипербол - подкласс равносторонних гипербол и т.д.

\