§17. Центр линии второго порядка

Пусть линия задана общим уравнением

(1)

и пусть вектор имеет неасимптотическое направление относительно этой линии. Это значит, что любая прямая с направляющим вектором пересекает линию в двух точках. Рассмотрим свойство середин действительных хорд.

Лемма. Точка является серединой действительной хорды, параллельной вектору неасимптотического направления относительно линии , тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют условию:

. (2)

Доказательство. Запишем параметрические уравнения прямой d, проходящей через точку и параллельной вектору :

, . (3)

Параметр t точки пересечения прямой d с линией найдем из уравнения:

. (4)

Так как вектор имеет неасимптотическое направление, то коэффициент в уравнении (4) отличен от нуля и уравнение (4) будет иметь два корня: и . Действительные точки пересечения прямой с линией имеют координаты: Так как точка - середина хорды , то

, ,

или

, . (5)

Равенства (5) выполняются тогда и только тогда, когда . С другой стороны, и - корни уравнения (4), поэтому по теореме Виета .Отсюда следует, что , а это равносильно условию (2).

Точка называется центром линии второго порядка, если она является центром симметрии этой линии.

Теорема. Точка является центром линии (1), тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют системе уравнений:

(6)

Доказательство. Пусть - центр линии (1). Докажем, что ее координаты , удовлетворяют системе (6).

Очевидно, точка является серединой любой хорды, проходящей через эту точку. Возьмем две хорды неасимптотического направления с направляющими векторами и . По лемме имеем равенства:

Так как векторы и неколлинеарны, то их координаты непропорциональны, поэтому равенства в последней системе будут выполняться одновременно лишь при условии, если и одновременно. Это означает, что координаты точки удовлетворяют системе (6).

Обратно, пусть координаты точки удовлетворяют системе уравнений (6). Перенесем начало координат в точку . Формулы переноса осей координат имеют вид: , , где совпадает с точкой . Подставив эти значения и в уравнение (1), получим уравнение линии в новой системе координат:

+

После алгебраических преобразований последнее уравнение можно записать в виде:

, (7)

где

,

,

.

Так как координаты точки удовлетворяют системе (6), то , поэтому уравнение (7) примет вид:

.

Из последнего уравнения видно, что если точка , то и точка , где точка симметрична точке относительно точки , т.е. точки . Итак, - центр симметрии линии , а поэтому и центр этой линии.

Из доказанной теоремы следует, что количество центров линии второго порядка зависит от количества решений системы уравнений (6).

Введем матрицы

и (8)

и обозначим соответственно через и ранги этих матриц, причем, . Возможно три случая.

1) .

В этом случае система (6) имеет единственное решение и поэтому линия имеет единственный центр.

2) .

В этом случае система (6) имеет бесконечное множество решений и поэтому линия имеет бесконечное множество центров - прямую линию центров. Эта прямая задается одним из уравнений системы (6).

3) .

Система не имеет решений и поэтому линия второго порядка не имеет ни одного центра.

Линии, имеющие единственный центр, называются центральными, не имеющие центров или имеющие бесчисленное множество центров - нецентральными.

Условие равносильно условию , то есть условию , а условие равносильно условию . Поэтому линии эллиптического и гиперболического типов являются центральными, а линии параболического типа - нецентральными.

Эллипс и гипербола имеют единственный центр и, если эти линии имеют канонические уравнения, то центр - начало системы координат. Для параболы матрицы (8) имеют ранги: соответственно, следовательно, парабола не имеет ни одного центра. Для параллельных прямых (действительных, мнимых или совпадающих) , поэтому параллельные прямые имеют прямую центров: .