§14. Канонические уравнения линий второго порядка

Исследуем, какие линии могут определять уравнения (I), (II), (III) §13. Для удобства записи переменные в этих уравнениях будем обозначать по-прежнему через х и у.

Пусть линия задана уравнением

Ах²+Ву²+С=0, где А . (I)

Возможны случаи:

1) Если А и В одного знака, а С имеет противоположный им знак, то уравнение (I) можно привести к виду , где поэтому и можно представить в виде квадратов a² и b² соответственно, т.е. уравнение (I) можно записать в виде:

. (1)

Это уравнение определяет эллипс, схематично изображенный на рис.18.

y₂

y

0

x

Рис.18

2) Если А, В и С одного знака, то уравнение (I) приводится к виду

(2)

Эта линия не имеет действительных точек и называется мнимым эллипсом.

3) Если А и В одного знака, а С=0, то из уравнения (I) получим:

(3)

П

y

0 x

олученному уравнению удовлетворяют координаты единственной точки О(0,0). Линию называют вырожденным эллипсом - точкой (рис.19).

Рис.19

4) Если в уравнении (I) А и В разных знаков и С , то оно приводится к виду

или к виду . (4)

Уравнения (4) задают гиперболы (рис.20).

Рис.20

5) Если в уравнении (I) А и В разных знаков и С=0, то получим уравнение:

. (5)

Последнее уравнение равносильно следующему:

,

отсюда у= или у=- .

Таким образом, получим две пересекающиеся прямые, совпадающие с диагоналями характеристического прямоугольника гиперболы (рис.21).

y

b

0 a x

Рис.21. Назовем эту пару прямых вырожденной гиперболой.

Теперь рассмотрим уравнение

Ах²+ Dу=0, где А . (II)

Это уравнение можно записать так:

6) х²=-

Обозначим через 2p. В зависимости от знаков D и A получим уравнения

х²= или х²= . (6)

Уравнения (6) задаю т параболы, изображенные на рис.22.

y

x²=2py

0 x

x²=-2py

Рис.22

Рассмотрим уравнение:

Ах²+С=0, где А , (III)

которое можно записать в виде: х²=- .

Здесь возможны случаи:

7) Если А и С разных знаков, то получим уравнение вида

х²=а² х= а. (7)

Уравнение распадается на два уравнения и определяет две параллельные прямые x=a и x=-a (рис.23).

y

- a 0 a x

Рис.23

8) Если А и С одного знака, то уравнение (III) равносильно уравнению

х² = -а². (8)

Действительных точек, удовлетворяющих своими координатами последнему уравнению,нет. Но для общности рассуждений последнюю линию будем называть парой мнимых параллельных прямых.

9) Если в уравнении (III) С=0,то получим равенство:

х²=0. (9)

Это уравнение определяет две совпадающие прямые:

Прямые совпадают с осью Оу, (рис 29).

y

х

0

Рис.24

Итак, доказана

Теорема. Общее уравнение линии второго порядка

а₁₁х² + 2а₁₂ху + а₂₂у² +2а₁₀х + 2а₂₀у + а₀₀ = 0,

заданное относительно прямоугольной системы координат, определяет одну из девяти типов линий, представленных в следующей таблице.

Таблица 1.

Уравнения линий	№	Каноническое уравнение ли- нии	Название линии	Схематичный чертеж линии
Ах2 + Ву2 + +С=0 А	1. 2. 3. 4. 5.		Эллипс Мнимый эллипс Вырожденный эллипс (точка) Гипербола Две пересекающиеся прямые	нет действительных точек y x
Ах2 +Ву=0 А	6.	х2=2ру	Парабола
Ах2 + С= 0 А	7. 8. 9.	х2=а2 х2=-а2 х2=0	Две параллельные прямые Две мнимые параллельные прямые Две совпадающие прямые (ось Oy).	нет действительных точек y 0

Уравнения линий второго порядка вида 1-9 назовём каноническими уравнениями; линии 1-3 назовём линиями эллиптического типа; линии 4-5 - линиями гиперболического типа; линии 6-9 - линиями параболического типа.

Замечание. Доказанная теорема верна и для случая, когда линия второго порядка задана на аффинной плоскости относительно аффинной системы координат.