5.1. Теоретичні основи методів сезонної декомпозиції

Для прогнозування рядів, у яких варіація рівнів має сезонний характер, використовують моделі з виділеним трендом і сезонною компонентою. Найпоширенішими моделями такого типу вважаються моделі з адитивною і мультиплікативною компонентами.

В моделі із адитивною компонентою значення членів ряду динаміки подають за допомогою суми трендового значення (Т), сезонної варіації (S) і похибки (Е):

.

В моделі з мультиплікативною компонентою значення членів ряду динаміки подають як добуток величин T, S, E:

.

На відміну від моделі з адитивною компонентою, в якій сезонні компоненти є сталими величинами, в мультиплікативних моделях сезонні значення збільшуються або зменшуються зі зміною трендових значень, тобто становлять певну частину даного трендового значення.

Загальна процедура моделювання полягає у виконанні таких кроків:

• обчислення значень сезонної компоненти;

• елімінування сезонної компоненти (десезоналізація даних);

• розрахунок тренду;

• розрахунок прогнозних значень;

• розрахунок похибок прогнозу.

Знаходження оцінок сезонної компоненти здійснюють з використанням середньої плинної. У деяких випадках (наприклад, при вирівнюванні ряду динаміки за чотирма точками під час прогнозування на підставі квартальних даних) оцінки є точками, що лежать між фактичними значеннями рівнів динамічного ряду, хоча повинні відповідати фактичним. З цією метою знаходять центровані середні плинні – середні із пари сусідніх значень.

На основі знайдених значень сезонних компонент розраховують середні сезонні оцінки. Середні оцінки переважно коригують так, щоб їх сума дорівнювала нулю для адитивної моделі і чотирьом – для мультиплікативної моделі. У першому випадку кожну середню оцінку збільшують (зменшують) на константу, а у другому – множать (ділять) на константу.

Розглянемо модель з адитивною компонентою.

Віднявши значення сезонних компонент від фактичних значень ряду динаміки отримаємо:

Знайдені десезоналізовані значення (Т+Е) використовують для побудови моделі основного тренду за допомогою рівняння регресії:

,

де t – порядковий номер періоду.

Прогнозне значення динамічного ряду обчислюють за формулою:

,

де S(t) – середнє значення сезонної компоненти для періоду t.

Мірою відповідності прогнозованих значень фактичним даним можуть служити середнє абсолютне відхилення або середня похибка, які обчислюють відповідно за формулами:

,

Для виявлення тренду динамічного ряду, на рівні якого впливає сезонність, застосуємо метод середніх плинних і найменших квадратів. Середня плинна розраховуватиметься для періоду чотири квартали, а для її віднесення до певного місяця буде здійснено центрування.

В результаті отримаємо середні, які можна вважати вільними від сезонних коливань. Віднявши від фактичних значень рівнів динамічного ряду значення центрованих середніх плинних, одержимо оцінки сезонних компонент S адитивної моделі.

Прогнозування на основі мультиплікативної моделі здійснюється аналогічно. Відмінність полягає лише в обчисленні оцінки сезонної компоненти.