
- •1.Множества. Основные понятия. Операции над множествами
- •2.Числовые множества
- •3.Числовые промежутки. Понятие окрестности точки.
- •4.Понятие функции. Способы задания функции. Основные характеристики функции
- •5.Обратная функция. Сложная функция
- •6. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности
- •7.Теоремы о предельных переходах в неравенствах.
- •8.Предел монотонной неограниченной последовательности. Теорема Вейерштрасса.
- •9. Предел функции в точке. Односторонние пределы.
- •16.2. Односторонние пределы
- •10. Бесконечно малые функции: определение и основные теоремы
- •17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •11.Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.
- •12.Основные теоремы о пределах
- •13. Признаки существования пределов. Теоремы о пределе промежуточной функции и о пределе монотонной функции.
- •14. Первый замечательный предел
- •15. Второй замечательный предел
- •16. Непрерывность функции в точке, в интервале, на отрезке.
- •17. Точки разрыва функции и их классификация.
- •18.Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
- •Непрерывность элементарных функций
- •19.Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •20.Определение производной, ее геометрический и экономический смысл.
- •21. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функций.
- •22. Производные суммы, разности, произведения и частного
- •23.Производные сложной функции
- •24.Производные основных элементарных функций
- •25. Возрастание и убывание функций
- •26. Максимум и минимум функций. Необходимое и достаточное условие экстремума
- •27. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •28.Общая схема исследования функции и построения графика
- •29. Понятие неопределенного интеграла
- •30.Свойства неопределенного интеграла
- •31. Таблица основных неопределенных интегралов
- •32. Метод непосредственного интегрирования
- •33. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
- •34. Метод интегрирования по частям
- •35. Понятия о рациональных функциях
- •36. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •37. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка
- •38. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
- •39. Геометрический смысл определенного интеграла
- •40. Формула Ньютона-Лейбница
- •41. Основные свойства определенного интеграла
- •42. Вычисления определенного интеграла Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменной в определенном интеграле.
- •Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.
- •43. Несобственные интегралы. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования(несобственный интеграл I рода). Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
- •44. Функции нескольких переменных, область определения.
- •45. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
- •46. Экстремум функций многих переменных.
- •47. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Непрерывность элементарных функций
Целая
и дробная рациональные
функции. Непрерывность f(x)=const и f(x)=x непосредственно
ясна. На основании теоремы о произведении
непрерывных функций вытекает непрерывность
любого одночленного выражения axm,
по теореме о сумме непрерывных функций
- непрерывность многочлена a0xn +
a1xn-1 +
... +an-1 +
an.
Непрерывность данных функций имеет
место на всем интервале
.
Частное двух многочленов
непрерывно
всюду, кроме точек b0xm +
b1xm-1 +...+
bm-1x
+ bm =
0 (в
этих точках - либо разрыв 2-го рода, либо
устранимый разрыв).
Показательная
функция y=ax(a>1) монотонно
возрастает на всем интервале
.
Ее значения заполняют весь интервал
.
Из существования логарифма следует
непрерывность данной функции.
Логарифмическая
функция
.
Рассмотрим случай a>1.
Эта функция возрастает при
,
и принимает любое значение из
.
Отсюда следует ее непрерывность.
Степенная
функция
.
При возрастании x от
0 до
возрастает
или
убывает
на
интервале
.
Следовательно, данная функция непрерывна.
Тригонометрические
функции
,
,
,
,
,
.
Остановимся на функции
.
Ее непрерывность на отрезке
вытекает
из ее монотонности, а также из факта
(устанавливаемого геометрически), что
при этом она принимает все значения от
-1 до 1. То же относится к любому промежутку
.
Следовательно, функция
непрерывна
для всех значений x.
Аналогично - для функции
.
По свойствам непрерывных функций
вытекает непрерывность функций
.
Исключение для первых двух функций -
значения x вида
,
при которых
,
для других двух - значения вида
,
при которых
.
Обратные
тригонометрические функции
,
,
,
.
Первые две непрерывны на
,
остальные - на
.
19.Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.
Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.
Теорема
1. Функция,
непрерывная на отрезке [a, b],
хотя бы в одной точке этого отрезка
принимает наибольшее значение и хотя
бы в одной – н
аименьшее.
Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x1 Î [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x1) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x2, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x1) ≤ f(x).
Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x2 и x2'.
Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.
Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.
Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать. Эта теорема допускает следующее обобщение. Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C. Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C. Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности: Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями. |
|