17. Точки разрыва функции и их классификация.
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.
Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
При этом возможно следующие два случая:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Такая точка
называется точкой
конечного разрыва.
Модуль разности значений односторонних
пределов Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. |
|||||||||||||||
Пример 1 |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
Исследовать
функцию Решение. Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точкахx = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках. Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода. Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода. |
|||||||||||||||
и
правосторонний предел 
;
называется скачком
функции.
на
непрерывность.
18.Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
Теорема 4.1. Сумма конечного числа непрерывных функций, определенных на некотором множестве Х, есть функция непрерывная.
Теорема 4.2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
С л е д с т в и е. Целый полином Р(х)=а0+а1х+... +аnхn есть функция непрерывная.
Теорема 4.3. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, в которых делитель отличен от нуля.
Теорема 4.4. Непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.
Теорема 4.5. Если y = f(x) непрерывна и строго монотонна на промежутке <а,b> , то существует обратная функция х = j(y), определенная на промежутке < f(a), f(b) >, причем последняя также монотонна и непрерывна в том же смысле.