39. Геометрический смысл определенного интеграла

Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).

     Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f(x), заданная на промежутке [a, b], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z₁, z₂, ..., z_N. Составим для f(x) интегральную сумму σ.

     Пусть из точек ξ₀, ξ₁, ..., ξ_n-1, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками z_i, а остальные отличны от них. Тогда в суммеσ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f(z_i) | (i = 1, 2, ..., N) есть K, то, очевидно,

| σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ,

откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл

существует и равен нулю.

     Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ(x) задана на промежутке [0, 1] так:

Если мы, составляя сумму σ, за точки ξ_k выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξ_k взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл

не существует.

     В настоящее время известны точные признаки, позволяющие судить, имеет или нет заданная функция определенный интеграл, но мы ограничимся вышеприведенной теоремой об интегрируемости непрерывных функций.

40. Формула Ньютона-Лейбница

Если функция f  ( x ) интегрируема на [ a ;  b ], то для любого   существует интеграл   который называется интегралом с переменным верхним пределом .

Если функция f интегрируема на [ a ;  b ], то функция F  ( x ) непрерывна на этом отрезке.

Если функция f интегрируема на [ a ;  b ] и непрерывна в   то функция F  ( x ) дифференцируема в    причем 

Если функция f непрерывна на [ a ;  b ], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида   где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [ a ;  b ] удовлетворяет этой формуле.

 

Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница :

Пусть функция f  ( x ) непрерывна на [ a ;  b ], а F  ( x ) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда 

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F  ( b ) –  F  ( a ).

Пусть f  ( x ) непрерывна на [ a ;  b ], g  ( t ) имеет непрерывную производную на [α; β],   Тогда если a  =  g  (α), b  =  g  (β), то справедливаформула замены переменной в определенном интеграле : 

Если функции u  ( x ) и v  ( x ) имеют на [ a ;  b ] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям: