24.Производные основных элементарных функций

25. Возрастание и убывание функций

Функция     называется монотонной на интервале   , если ее приращение сохраняет свой знак на этом интервале.        Функция     называется неубывающей на интервале   , если условие    (1)   влечет за собой неравенство    (2)         Функция     называется возрастающей на интервале   , если    (3)   Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.        Аналогично вводятся понятия невозрастающей функции и убывающей функции.        Функция     называется невозрастающей на интервале   , если    (4)         Функция     называется убывающей на интервале   , если    (5)   (Большему значению аргумента соответствует меньшее значение убывающей функции).        Имеется тесная взаимосвязь между поведением функции     в некотором промежутке и знаком производной     в этом промежутке. Действительно, по определению производной, Если   , то существует окрестность точки   , в которой разностное отношение под знаком предела остается положительным: Тогда и, следовательно, функция     является возрастающей в окрестности точки   .        Предположим теперь, что функция     является неубывающей в окрестности точки   . Тогда Аналогично устанавливается, что условие является необходимым и достаточным для того, чтобы функция     была невозрастающей в окрестности точки   .

26. Максимум и минимум функций. Необходимое и достаточное условие экстремума

Говорят, что функция f (х) имеет в точке    максимум (минимум), если существует такая  окрестность   точки  , что для всехиз этой окрестности, отличных от  , выполняется неравенство      (соответственно  ).  Иначе говоря, функция f (х) имеет в точке   максимум (минимум), если для достаточно малого приращения Δх (любого знака)  выполняется неравенство      ( ).  

Максимум и минимум функции называются экстремумом функции.  По определению, максимум и минимум функции могут достигаться лишь внутри  области определения, а концы отрезков области  определения, не могут служить точками, в которых функция принимает экстремум.  

На рис. изображен график функции,  которая имеет в точке   максимум, а в точке   — минимум.    Теорема 1 (необходимое условие  существования экстремума).  

Если функция f (х),  дифференцируемая в интервале (а ; b), имеет в  точке  ,  , экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю:   (1) Условие (1), будучи необходимым условием экстремума, не является достаточным условием экстремума, что показывает следующий  пример.  

Пример 1. Функция   не имеет  экстремума в точке   (разность   меняет знак при изменении знака аргумента х), хотя ее  производная   обращается в этой точке в нуль.  Теорема 2 (первое достаточное условие существования экстремума).  

Если  производная функции f (х) обращается в точке   в нуль (такие точки называются критическими) и при переходе через эту точку в направлении  возрастания х меняет знак с «плюса» («минуса») на «минус» («плюс»), то в точке   функция имеет максимум (минимум).  

Если же при переходе через точку   производная функции f (х) не меняет знака, то в этой точке функция f (х)  экстремума не имеет.  

Отсюда следует правило исследования  функции на экстремум с помощью первой  производной.  

Пусть в интервале (а ; b) дана  дифференцируемая функция f (х).  

Тогда для исследования ее на экстремум: 1) находят производную f ′ (х); 2) находят корни уравнения f ′ (х) = 0; 3) выясняют знак f ′ (х) слева и справа от  каждого из этих корней и согласно теореме 2 делают  заключение об экстремуме; 4) вычисляют значения функций в точках экстремума.  

Пример 2. Исследуем на экстремум функцию  . Вычисляем производную    и находим корни уравнения 

 

Имеем   .