Произведение случайных событий.

Произведение двух случайных событий А и В называют событие А*В, состоящее в совместном появлении этих событий(Логическое И). Например, если деталь А- годная, деталь В- окрашеная, то АВ- деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А,В,С- появление герба соответсвенно в первом, 2-ом и 3-ем бросании монеты, то А*В*С выпадение герба во всех трех испытаниях.  Теорема умножения Вероятностей.

Теорема: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычесленную в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB)=P(A)*Pa(B). Доказательство: По определению условной вероятности, Ра(В)=Р(АВ)/Р(А). Отсюда P(AВ)=Р(А)*Ра(В).  Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.

Событие В называют независимым от события А, если появления события А не изменяет вероятности события В, т.е. если услвная веротностьсобытия В равна его безусловной вероятности: Pa(B)=P(B); Pb(A)=P(A). Два события называют независимыми, если вероятность их совмещений равна произведению вероятностей этих событий; иначе события "зависимые". "Несколько событий называются независимыми", если каждые два из них независимы. Например события А,В,С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С. "Теорема умножения для независимых событий" имеет вид P(AB)=P(A)*P(B), т.е. вероятность появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.  Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть в резе истпыт могут появиться n событий, нзавис в совокупн,  либонекоторые из них(в частности, только одно или ни одного),  причемвероятности появления каждого из событийизвестны. Как найти  вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событи? Например,  если в результ испытания могут появиться три события, то появления хотя  бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух,  либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает теорема. Теорема:  Вероятность появления хотя бы одного из событий А1,А2,..,Аn,  независимых в совокупности, равна разности между единицей и  произведением вероятностей противоположных событий('А с черточкой):  P(A)=1-q1*q2*..*qn. Доказательство: Обозначим через А событие,  состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1,..,Аn. События А и  'А1,'А2..'Аn(с черточками) противоположны, следовательно, сумма изх  веротностей равна =1 P(A)+P('A1,'A2,..,'An)=1; P(A)=1-P('A1)*..*P('An);  P(A)=1-q1*q2*..*qn 

Формула полной вероятности.

Теорема: Вероятность события А, которое может натупить лишь при условии  появления одного из несовметных событий В1,..,Вn, образующих полную  группу, равна сумме произведений веротностей каждого из этих событий на  соответствующую условную вероятность события А:  P(A)=P(B1)*Pb1(A)+..+P(Bn)*Pbn(A). Доказательство: по условию, событияе  А может наступить если натупит одно из несовметных событий В1..Bn.  Другими словами, появление события А означает осущетвления одного из  несовместных событий В1А,В2А...ВnA. пользуясь теоремой сложения получим  P(A)=P(B1A)+..+P(B2A). остается вычислить каждое из слагаемых по торему  умножения для завис событий P(B1A)=P(B1)*Pb1(A) и тд подставив правые  части получим формулу полной вероятности: P(A)=P(B1)*Pb1(A)+..+P(Bn)*Pbn(A)