Классическая формла вероятности.
Отношение числа благоприятствующих(m) этому событию исходов к общему числу всех равновозможных(n) несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак событие A определяется формулой P(A)=m/n Вероятность случайного события.
Из оперделения классичесой формулы вероятности можно выделить свойства: 1) вероятность достоверного события равна =1 2)Вероятность невозмодного события равна =0 3)Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей 0<P(A)<1. Итак, вероятность любого события увдволетворяет двойственному неравенству 0<=P(A)<=1. Основные понятия комбинаторики.
Комбинаторика изучает количество комбинаций подчиненных определенным условиям, которые можно состаить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечноого множества. При непосредственном вычислении вероятности часто используют формулы комбинаторики. 1)"Престановками" называют комбинации, сост из одних и тех же n различн эл-тов и отличающихся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Pn=n! 2)"Размещениями" называют комбинации, сост-е из n различн эл-тов по m эл-тов, либо их порядком. Число всех возможных размещений Amn=n*(n-1)*(n-2)...(n-m+1) 3)"Сочетанием" наз-т комбинации, сост-е из оазличных эл-тов по m эл-тов, кот. отличаются хотя бы одном эл-том. Число сочетаний Cmn=n!/(m!(n-m)!) Подчеркиваем, что числа размещений, перестановок и сочетаний свызаны равенством Amn=Pm*Cmn Правило суммы, правило произведения.
Суммы: если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо A, либо В можно m+n способами. Произведения: если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами. Статическое определение вероятности.
Классическое опр вероятн предпологает, что число элементарн исходов испытания конечно. На практике же часто встречаются испыт-я, число возможных исходов которых бесконечно. Поэтому наряду с классич опр вероятн используют и др. опр. "Статистическое определение" В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, бизкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что отностительная чистота весьма близка к числу 0,4 то это число можно принять за статическую вероятность события. Для сущетвования статич вероятн события А требуется: а) возможность производить неограниченное число испытаний, в каждом из кот событие А наступает или нет б) устойчивость относительных частот появления события А в различных сериях достаточно большого числа испытний. Недостатком стат опр явл. неоднозначность статич вероятности; например в качестве вероятности события можно принять не тольно 0,4 но и 0,39; 0,41 и т.д. Статическое определение вероятности.
Классическое опр вероятн предпологает, что число элементарн исходов испытания конечно. На практике же часто встречаются испыт-я, число возможных исходов которых бесконечно. Поэтому наряду с классич опр вероятн используют и др. опр. "Статистическое определение" В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, бизкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что отностительная чистота весьма близка к числу 0,4 то это число можно принять за статическую вероятность события. Для сущетвования статич вероятн события А требуется: а) возможность производить неограниченное число испытаний, в каждом из кот событие А наступает или нет б) устойчивость относительных частот появления события А в различных сериях достаточно большого числа испытний. Недостатком стат опр явл. неоднозначность статич вероятности; например в качестве вероятности события можно принять не тольно 0,4 но и 0,39; 0,41 и т.д. Геометрическая вероятность
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности ? вероятность попадания точки в область(отрезок, часть плоскости и т.д.). Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L на удачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством. P=Длинаl/длинаL Сумма случайных событий.
"Суммой А+В двух событий" А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий(Логическое ИЛИ). Например, если из орудия произведены два выстрела и А-при первом выстреле, то А+В- попадпние при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. В часности если двасобытия А и В- несовместные, то А+В- событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. "Суммой нескольких событий" называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А+В+С состоит в появлении одного из следующих событий: А,В,С,А и В,А и С,В и С,А и В и С. Пусть события А и В- несовместные, причем вероятности этих событий известны. Теорема сложения Вероятностей.
Как найти вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие В? Ответ на этов вопрос дает Теорема сложения. Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B). Доказательство: Введем обозначение: n- общее число элементарных исходов испытания. m1- число исходов благоприятствующих событию А. m2- число исходов благоприятствующих событию В. Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1+m2. Следовательно, P(А+В)=(m1+m2)/n=m1/n+m2/n. Приняв во внимание, что m1/n=P(A) и m2/n=P(B), окончательно получим. P(A+B)=P(A)+P(B).