Основные формулы комбинаторики

Пусть имеется, k групп элементов, причем i-я группа содержит ni элементов, 1<=i<=k. Выберем из каждой группы по одному элементу. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, равняется 

Предмет теории вероятности и математическая статистика. История развития.

Предмет теория вероятностей.  Теория вероятности - есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.  Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.  Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20о, то событие ?вода в сосуде находится в жидком состоянии? есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.  Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие ?вода в сосуде находится в твердом состоянии? заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S из предыдущего примера(20о, нормальное атмосферное давление).  Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например если брошена монет она может упасть вверх гербом или вверх надписью. Поэтому событие ?при бросании монеты выпал герб? - случайное. Каждое случайное событие , в частности выпадение герба, есть следствие действия многих случайных причин (сила с которой брошена монета, форма монеты, вес и т.д.). Не возможно учесть влияние этих причин на результат, по сколку их число очень велико, по этому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать. Произойдет единичное событие или нет.  По?иному обстоят дело, если рассматривать случайные события, которые могут много кратно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, то есть если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.  Итак. Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.  1.2.1. Предмет математическая статистика.  Мат. Статистика - раздел математики изучающей методы сбора систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.  Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных результатов наблюдений.  Первая задача мат. Статистики - указать способы сбора и группировки статистических сведений полученных в результате наблюдения или в результате специально поставленных экспериментов.  Вторая задача мат. Статистики ? разработка методов анализа статистических данных в зависимости от цели исследования.  Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.  1.2.2. История развития.  Мат. Статистика возникла (XVII в.) и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики (вторая половина XIX - начало XX в.) обязано . в первую очередь, П.Л. Чебышеву, А.А.Маркову ,Гауссу, Кетле и др. 

Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

11.1.Вероятность гипотез.  Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,?Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:  Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А).  11.2.Формулы Байеса.  Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности  РА(В1), РА(В2), ?, РА(Вn).  Найдем сначала условную вероятность РА(В1). По теореме умножения имеем  Р(АВ1) = Р(А)РА(В1) = Р(В1)РВ1(А).  Отсюда  P'a(B1)=(P(B1)*Pb1(A))/P(A)  Заменив здесь Р(А) по формуле Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А), получим  Pa(B1)=(P(B1)*Pb1(A))/(P(B1)*Pb1(A)+P(B2)*Pb2(A)+?+P(Bn)*Pbn(A))  Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы Вi(i=1,2, ?,n) может быть вычислена по формуле:  Pa(Bi)=(P(Bi)*Pbi(A))/(P(B1)*Pb1(A)+P(B2)*Pb2(A)+?+P(Bn)*Pbn(A))  Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.  Формула полной вероятности.

10.1.Формула полной вероятности.  Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1,B2,..,Bn которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности Pb2(A),Pb2(A),..,Pbn(A) события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.  Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1,В2, ?, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А). Эту формулу называют ?формулой полной вероятности?.  Доказательство. По условию, событие А сожжет наступить, если наступит одно из несовместных событий В1,В2, ?, Вn. Другими словами, появления события А означает осуществление одного. Безразлично какого, из несовместных событий В1А,В2А, ?, ВnА. Пользуясь для вычисления вероятностей события А теоремой сложения, получим Р(А) = Р(В1А)+ Р(В2А)+ ? +Р(ВnА).  Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем Р(В1А) = Р(В1) ? РВ1(А); Р(В2А) = Р(В2) ? РВ2(А); ? Р(ВnА) = Р(Вn) ? РВn(А).  Подставив правые части этих равенств в соотношение Р(А) = Р(В1А)+ Р(В2А)+ ? +Р(ВnА), получим формулу полной вероятности: Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А).  Схема не зависимых испытаний Бернулли.

11.1.Вероятность гипотез.  Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,?Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:  Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А).  11.2.Формулы Байеса.  Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности  РА(В1), РА(В2), ?, РА(Вn).  Найдем сначала условную вероятность РА(В1). По теореме умножения имеем  Р(АВ1) = Р(А)РА(В1) = Р(В1)РВ1(А).  Отсюда  P'a(B1)=(P(B1)*Pb1(A))/P(A)  Заменив здесь Р(А) по формуле Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А), получим  Pa(B1)=(P(B1)*Pb1(A))/(P(B1)*Pb1(A)+P(B2)*Pb2(A)+?+P(Bn)*Pbn(A))  Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы Вi(i=1,2, ?,n) может быть вычислена по формуле:  Pa(Bi)=(P(Bi)*Pbi(A))/(P(B1)*Pb1(A)+P(B2)*Pb2(A)+?+P(Bn)*Pbn(A))  Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.  Локальная теорема Лапласа.

13.1. Локальная теорема Лапласа.  Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую (функция fi(x) (где fi-фи) называют асимптотической приближением функции f(x), если lim{x->infin}(f(x)/fi(x))=1 .) формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.  Замети, что для частного случая, а именно для p = 1/2, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного p, отличного от 0 и 1. поэтому теорему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой Муавра ? Лапласа.  Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции.  Y=((1/sqrt(n*p*q))*(1/sqrt(2pi))*( e^((-x^2)/2)=( 1/sqrt(n*p*q))*fi(x)  при X=((k-n*p)/sqrt(n*p*q))  Имеются таблицы, в которых помещены значений функции  fi(x)=(1/sqrt(2*pi))*( e^((-x^2)/2)),  соответствующим положительным значениям аргумента x (приложение 1). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция fi(x) четна, т.е. -fi(x)=fi(x) .  Итак, вероятность того, что события А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна  Pn(k)=(1/sqrt(n*p*q))*fi(x)  где X=(k-n*p)/(sqrt(n*p*q))  Интегральная теорема Лапласа

14.1.Интегральная теорема Лапласа  Предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p(0<p<1). Как вычислить вероятность Pn(k1,k2) того, что событие А появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2 раз? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа.  Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k1,k2) того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу  Pn(k1,k2)=1/sqrt(2*pi)*(x??<integ>x?->((e^((-z^2)/2))*dz)  где X?=(k1-n*p)/sqrt(n*p*q) и x??=(k2-n*p)/sqrt(n*p*q).  При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа. Пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл null<integ>null->(e^((-z^2)/2)*dz) не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла fi(x)=(1/sqrt(2*pi))*(0<integ>x->((e^((-z^2)/2))*dz)) приведена в приложении 2(ст. 462). В таблице даны значения функции fi(x) для положительных значений x и для x =0; для x<0 пользуются то же таблицей [функция fi(x) нечетна, т.е. fi(-x)=-fi(x)]. В таблице приведены значения интеграла лишь до x=5, так как для x>5 можно принять fi(x)=0,5. Функцию fi(x) часто называют функцией Лапласа  Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функция Лапласа, преобразуем соотношение  Pn(k1,k2)= (1/sqrt(2*pi)*(x??<integ>x?->((e^((-z^2)/2))*dz)  так:  Pn(k1,k2)= (1/sqrt(2*pi)* (x?<integ>0->((e^((-z^2)/2))*dz))+ (1/sqrt(2*pi)*(0<integ>x??->((e^((-z^2)/2))*dz))=  (1/sqrt(2*pi)* (0<integ>x??->((e^((-z^2)/2))*dz))- (1/sqrt(2*pi)* (0<integ>x?->((e^((-z^2)/2))*dz))=  =fi(x??)-fi(x?)  Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях от k1 до k2 раз,  Pn(k1,k2)= fi(x??)-fi(x?)  где X?=(k1-n*p)/sqrt(n*p*q) и X??=(k2-n*p)/sqrt(n*p*q). И в итоге получим. Pn(k1,k2)=fi(k2-n*p)/sqrt(n*p*q)-fi(k1-n*p)/sqrt(n*p*q)  Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины.

15.1. Случайная величина.  Например при бросании игральной кости могли появится числа 1,2,3,4,5 и 6. На перед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1,2,3,4,5 и 6 есть возможные значения этой величины.  Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.  Обозначения. Случайные величины прописными буквами X,Y,Z, а их возможные значения ? соответствующими строчными буквами x,y,z. Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x1,x2,x3.  15.2. Дискретные и случайные непрерывные величины.  Дискретной(непрерывной ) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.  Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений случайной непрерывной величины бесконечно. Из этого следует, что вероятность принятия случайной величиной определенного значения равна нулю.  Закон распределения случайной дискретной величины.

16.1. Закон распределения случайной дискретной величины.  Случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно ещ? указать их вероятности.  Закон распределения дискретной случайной вылечены называют соответствием между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически(в виде формулы) и графически.  При табличном задании закон распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая их вероятности:  X x1 x2 xn  p p1 p2 pn  Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события X=x1, X=x2, ?, X=xn образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:  P1+p2+?pn=1  Если множество возможных значений Х бесконечно (несчетно), то ряд р1+р2+? сходится и его сумма равна единице.  Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (xi,pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.  Функция распределения. Свойства функции распределения

17.1. Функция распределения.  Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, т. е.  F(x)=P(X<x)  Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x.  17.2. Свойства функции распределения.  Свойство 1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0<=F(x)<=1  Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.  Свойство 2. F(x) - неубывающая функция, т. е. F(x2)>=F(x1), если x1>x2.  Доказательство. Пусть x2>x2. Событие, состоящее в том, что X примет значения, меньше x2, можно подразделить на следующие два несовместных события:  1. X примет значения, меньше x1, с вероятностью P(X<x1)  2. X примет значение, удовлетворяющее неравенству x1<=X<=x2 с вероятностью P(x1<=X<=x2). По теореме сложения имеем  P(x<x2)=P(x<x1)+ P(x1<=X<=x2)  Отсюда  P(x<x2)-P(x<x1)= P(x1<=X<=x2)  или  F(x2)-F(x1)= P(x1<=X<=x2)  Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то F(x2)-F(x1)>=0, или F(x2)>=F(x1), что и требовалось доказать.  Случайные события. Классификация случайных событий

2.1. Случайные события.  Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например если брошена монет она может упасть вверх гербом или вверх надписью. Поэтому событие ?при бросании монеты выпал герб? - случайное. Каждое случайное событие , в частности выпадение герба, есть следствие действия многих случайных причин (сила с которой брошена монета, форма монеты, вес и т.д.). Не возможно учесть влияние этих причин на результат, по сколку их число очень велико, по этому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать. Произойдет единичное событие или нет.  В дальнейшем, вместо того чтобы говорить ?совокупность условий S осуществлена?, будем говорить кратко ?произведено испытание?. Таким образом, события будет рассматривается как результат испытания.  2.2.Классификация случайных событий.  Полной группой событий называются несколько событий таких что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.  События называют несовместными, если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании.  События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.  Вероятность случайного события. Классическая формула вероятности

3.1 Классическая формула вероятности.  Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой  P(A) = m/n  где m ? число элементарных исходов, благоприятствующих А; n ? число всех возможных элементарных исходов испытания.  Здесь предполагается, что элементарные исходы не совместны, равновозможные и образуют полную группу.  3.2.Вероятность случайного события.  Из определения вероятности вытекает следующие свойства:  1.Вероятность достоверного события равна единице.  2.Вероятность невозможного события равна нулю.  3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0<m<n, значит, 0 <m/n<1, следовательно, 0<P(A)<1.  Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 <= P(A)<= 1.  Основные понятия комбинаторики. Правило суммы, правило произведения.

4.1. Основные понятия комбинаторики.  Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используются формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.  1.Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающимися только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Pn = n!, где n! = 1?2?3 ? n, 0! = 1.  Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?  Решение. P3 = 3! = 1?2?3 = 6.  2.Размешениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. An m =n!/(n-m)!  Пример 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?  Решение . A 2 6 = 6! ?(6-2)! = 720 / 24 = 30.  3.Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хоты бы одним элементом. Cnm = n!/(m!(n-m)!).  Пример 3. Скольким количеством способов можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?  Решение. C21 0 =10!/(2! ?8!) = 45.  Подчеркнем что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством. Anm = PmCnm  4.2. Правило суммы, правило произведения.  Правило суммы. Если некоторые объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В можно выбрать n способами. То выбрать либо А, либо В можно m + n способами.  Правило произведения. Если некоторые объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указном порядке может быть выбрана m ? n способами.  Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины.

15.1. Случайная величина.  Например при бросании игральной кости могли появится числа 1,2,3,4,5 и 6. На перед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1,2,3,4,5 и 6 есть возможные значения этой величины.  Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.  Обозначения. Случайные величины прописными буквами X,Y,Z, а их возможные значения ? соответствующими строчными буквами x,y,z. Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x1,x2,x3.  15.2. Дискретные и случайные непрерывные величины.  Дискретной(непрерывной ) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.  Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений случайной непрерывной величины бесконечно. Из этого следует, что вероятность принятия случайной величиной определенного значения равна нулю.  Статистическое определение вероятностей. Геометрическая вероятность.

5.1. Статистическое определение вероятностей В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых события появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой W(A) = m/n, где m - число появления события, n - общее число испытаний. 5.2. Геометрическая вероятность. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности ? вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L на удачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством. P = Длина l / длина L. Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G на удачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от его расположения относительно фигуры G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки на фигуру g определяется равенством. P = Площадь g / Площадь G. Статистическое определение вероятностей. Геометрическая вероятность. 5.1. Статистическое определение вероятностей В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых события появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой W(A) = m/n, где m - число появления события, n - общее число испытаний. 5.2. Геометрическая вероятность. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности ? вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L на удачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством. P = Длина l / длина L. Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G на удачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от его расположения относительно фигуры G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки на фигуру g определяется равенством. P = Площадь g / Площадь G. Сумма случайных событий. Теорема сложения вероятностей

6.1. Сумма случайных событий. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий другими словами логическое ИЛИ. В частности, если два события А и В - несовместные, то А + В ? событие, состоящее в появлении одного из этих событии, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А+В+С состоит в появлении событий: А,В,С,А и В 6.2. Теорема сложения вероятностей. Теорема. Вероятность появления одного из двух не совместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B) = P(A)+P(B). Доказательство. Введем обозначение: n - общее число элементарных исходов испытания. m1 - число исходов благоприятствующих событию А. m2 - число исходов благоприятствующих событию В. Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1+m2. Следовательно, P(А+В) = (m1 + m2)/n = m1/n + m2/n. Приняв во внимание, что m1/n = P(A) и m2/n = P(B), окончательно получим. P(A+B) = P(A)+P(B). Произведение случайных событий. Теорема умножении вероятностей.

7.1. Произведение случайных событий. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий другими словами логическое И. Например, если А ? деталь годная, В ? деталь окрашенная, то АВ - деталь годна и окрашена. Произведение нескольких событий называют событие, состоящие в совместном появлении всех этих событий. Например. Если А,В,С ? появление ?герба? соответственно в первом, в тором и третьем бросании монеты, то АВС ? выпадение ?герба? во всех трех испытаниях. 7.2.Теорема умножении вероятностей. Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятности Р(А) и РА(В) известные. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения. Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: P(AВ) = Р(А)?РА(В). Доказательство. По определению условной вероятности, РА(В) = Р(АВ)/Р(А). Отсюда P(AВ) = Р(А)?РА(В). Не зависимые события. Теорема умножения для не зависимых событий. 8.1. Не зависимые события. Пусть вероятность события В не зависит от появления события А. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: РА(В) = Р(В). Подставив Р(АВ) = Р(А)?РА(В) в соотношение Р(А)? РА(В) = Р(В) ?РВ(А) получим Р(А)?Р(В) = Р(В)?РВ(А). Отсюда  РВ(А) = Р(А), то есть условная вероятность события А в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие А не зависит от события В. Итак, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; это озночает, что свойство независимости событий взаймно.  Два события называют не зависимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называются зависимыми. 8.2. Теорема умножения для не зависимых событий. Для независимых событий теорема умножения Р(АВ) = Р(А)?РА(В) имеет вид Р(АВ) = Р(А)?Р(В), т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность появления хотя бы одного события.

9.1. Вероятность появления хотя бы одного события. Пусть в результате испытания могут появится n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), прич?м вероятность появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того. Что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появится три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, ?, Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведений вероятностей противоположных событий А?1, А?2, ?, А?n: P(A) = 1 ? q1q2...qn. Доказательство. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1, А2, ?, Аn. События А и А?1, А?2, ?, А?n (ни одного из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице: Р(А) + Р(А?1, А?2, ?, А?n)=1 Отсюда пользуясь теоремой умножения, получим Р(А) = 1 ? Р(А?1, А?2, ?, А?n) = 1 ? Р(А?1) Р(А?2) ?Р(А?n), P(A) = 1 ? q1q2...qn. Частный случай. Если событий А1, А2, ?, Аn имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий рассчитывается по формуле: q = 1 ? p, Р(А) = 1 - q^n. Предмет теории вероятности

События:1Достоверные,2невозможные и 3случайные.  1)Обязательно произойдет, если будет произведина совокупность событий. Пример: вода находится в сосуде, атмосферное давление в норме, и темпа 20 градксов, значит вода в жидком состоянии. 2)Заведомо не произойдет, напимер: вода, при тех же условиях, находится в твердом состоянии. 3)Может либо произойти либо не произойти. Пример: брошена монета, то может быть и герб или надпись. кажадое случайное событие есть следствие действия многих случ. причин(сила с кот была брошена монета..) Итак, предметом теории вероятности явл. изучение вероятных закономерностей массовых однородных случайных событий.  История развития.

Первые работы-попытки создания теории азартных игр(Крдано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма в 16-17веках.) След этап развития Якоб Бернули(1654-1705) и его теорема "закона больших чисел".  Случайное событие. Классификация случайных событий

Случайное-это которое произойдет или нет(монета). События называют "несовметными", если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Несколько событий образуют "полную группу", если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Др. словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверноое событие. В часности если события, образуюшие полную группу, попарно несовместныто в результате испытания появится одно и только 1 из этих событий. событи яназываются "равновозможными", если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.