21. Частные производные 1-го, 2-го порядка .

Пусть задана функция явно z=f(x,y). Введем понятие частной производной. Так как функция зависит от (x,y), то функцию можно дифференцировать по переменной x и y, соответственно их обозначают ся . Последнее читается «дэ эф по дэ икс».

Введем определение одной производной, например Z’x. 1) для определения Z’x зафиксируем переменную y=const, получим Z=f(x,c). Тогда имеем функцию одной переменной. А для функции одной переменной понятие производной известно. 2) для х дадим превращение , получим значение . Вычислим значение при х и , т.е. f(x,c) и f( ,c). 3) вычислим превращение функции , . Значок «х» обозначает превращение по х. составим отношение превращений, вычислим предел при : . Если этот предел существует, то он называется частной производной по х, записывается: . Аналогично зафиксировав переменную х, мы получим понятие частной производной по y.

Частные производные второго порядка.

Как и для функций одной переменной y=f(x) для которой можно вычислить производные второго и третьего порядка, можно вычислить производные второго порядка для функций z=f(x,y). Это значит от вычисленной производной надо вычислить еще раз производную. Вторые частные производные обозначаются последнее читается «дэ дважды от z по дэ икс в квадрате». Очевидно, что от частных производных по x Z’x можно вычислить частную производную по y, обозначается Z’’xy. Также можно вычислить от частной производной Z’y производную по x – Z’’yx.

Дифференциал функции двух переменных вычисляется аналогично одной переменной. y=f(x) dy=f(x)dx. Тогда для функции двух переменных z=f(x,y) также надо вычислить частные производные f’x и f’y, а затем домножить первое на dx, а второе на dy, затем взять их сумму. Получим dz=f’xdx+d’ydy

22. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

В трехмерном пространстве поверхности задаются: 1) явными уравнениями z=f(x,y). В этом случае график функций z=f(x,y) является поверхностью. 2) неявное уравнение F(x,y,z)=0, т.е. переменные x,y,z содержатся в одной формуле. Часто трудно выразить z через x,y. На поверхности заданной явно или неявно можно определить линии поверхности. Уравнения этой линии можно задать следующим образом: 1) известно что линии в пространстве в системе координат Oxyz задается параметрическими уравнениями , т.е. конец вектора из точки О описывает некоторую линию, т.е. вектор имеет переменные координаты . 2) чтобы эта линия лежала на поверхности надо чтоб эти переменные удавлетворяли уравнению поверхности. Тогда получим уравнение линии лежащей на поверхности .

Чтобы вести понятие нормаль и касательной, надо продифференцировать уравнение линии на поверхности. При этом уравнение зависит от x,y,z которые зависят от t. следовательно будем вычислять частные производные по x,y,z и обыкновенные производные по t. Воспользуемся правилом производной сложной формы. Получим . Это уравнение рассмотрим как скалярное произведение двух векторов и . Так как скалярное произведение равно 0, то векторы пермендикулярны. Известно что вектор Т является касательной кривой. . -линии поверхности. Векторы Т1Т2-касательные векторы к линии. Вектор N нормальный вектор(перпендикулярный). Перпендикулярные векторы Т и N называется нормальным вектором поверхности, а прямая проходящая через этот вектор называется нормалью. Уравнение нормали n запишем как уравнение прямой в геометрии. Пусть M0(x0,y0,z0)-точка поверхности, тогда вектор N нормали в этой точке имеет координаты N0{F’x(x0,y0,z0), F’y(x0,y0,z0), F’z(x0,y0,z0)}. -каноническое уравнение прямой.