16. Интегрирование простейших дробей и тригонометрических функций. Примеры.

Неопределенный интеграл.

Пусть функция y=f(x) является производной некоторой функции y=F(x). Тогда верно что (F(x))’=f(x). Функция y=F(x) называется первообразной от функции y=f(x), если производная F’(x)=f(x). Первообразные отличаются друг от друга постоянной С. Действие нахождения первообразной по ее производной называется интегрированием. Множество всех первообразов называется неопределенным интегралом. Так как операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратимы, то последовательность их выполнения не изменяет функцию f(x).

Операция интегрирования записывается: S f(x)dx=F(x)+c, где S- знак интеграла, f(x)-под интегральная функция, dx-дифференциал независимой переменной, f(x)dx-под интегральной выражение.

Правила вычисления неопределенных интегралов.

4) вычисление интеграла подстановкой. В под интегральной функции f(x) заминают сложное выражение на простое.

5) интегрирование тригонометрических функций по известным нам формулам тригонометрии под интегральные функции f(x) упрощает до интегралов из таблицы 3-6.

6) интегрирование дробей. При интегрирование дробей данную дробь надо разложить на сумму простых дробей. При этом знаменатели дробей в произведение дают знаменатель данной дроби. Числитель дробей обозначают через А и B и находят их. Это метод неопределенных коэффициентов.

Таблица интегралов

17. Задача вычисления криволинейной трапеции. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Примеры.Понятие определенного интеграла, т.е. содержание и смысл связано с вычислением площади криволинейной трапеции. Таким образом определенный интеграл это число. Определенный интеграл связан с неопределенным интегралом, т.к. число, как определенный интеграл, является значением функции F(x), которое вычисляется через неопределенный интеграл . Криволинейной трапецией называется плоская фигура на координатной плоскости Oxy, ограниченная снизу осью Ox, сверху графиком функции f(x), а с боков вертикальными прямыми с уравнением x=a, x=b, a<b. Площадь криволинейной трапеции это есть геометрический смысл определенного интеграла, она вычисляется по формуле .

Пр-р:

18. Вычисление определенного интеграла при помощи неопределенного . Примеры.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница : .

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство . .

19. Вычисление объема тела вращения . Площади фигур. Несобственные интегралы.

Ч/з опр-й интеграл выч-ся объем фигуры вращения. Пусть график ф-ии y=f(x) вращается вокруг оси ОХ.

Без вывода объем равняется V=π (x)dx

Пр-р:Вычислить объем тела полученного вращ-м параболы y=√x вокруг оси ОХ при 0≤x≤10

Несобственные интегралы:Несобственными инт-ми наз-ся интегралы с бесконечными предметами интегрирования 3-х видов:

, ,

М/о предположить,что знач-я этих интегралов м.б. конечными числами или+-∞

Несобств-е инт-ы,знач-я кот-х конечное число наз-ся сходящимися;Если знач-е инт-в равно +-∞,то инт.наз-ся расходящимися

20. Функции 2-х переменных. Область определения и график функции2-х переменных. Задания функции 2-х переменных. Примеры.

Известно понятие функции одной переменной. Пусть имеем два множества X и Y. Установим взаимно-однозначное соответствие(ВОС) между этих множеств, т.е. когда каждый элемент x из X имеет в соответствие ровно один элемент y из Y. Возможно соответствие нескольких элементов x из X на один элемент y из Y, такое соответствие называется функцией одной переменной y=f(x). При этом элемент x - аргумент, у - значение функции, множество Х – область определения, множество Y-множество значений.Аналогично введем понятие двух переменных. За область определения возьмем точки плоскости Oxy. Ей подставим соответствие точку пространства, лежащую на прямой, параллельной оси Oz, лежащей на определенном расстояние от плоскости Oxy. Значит, имеем ВОС между двумя точками M и N. Можно записать N=f(M).

Может быть точка N может лежать и на самой плоскости Oxy, т.е. z=0. Но точка M на плоскости Oxy имеет свои координаты M(x,y). Значит ВОС ставит паре чисел (x,y) в соответствие одно число Z. Z=f(x,y). Все плоскости Oxy или ее части называются областью значений. Множество точек N называется областью значений. Такое описанное соответствие называется функцией двух переменных.