4.Метод изоклин для ду 1-го порядка.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка

Пусть y = y(x) решение уравнения.    

Интегральная кривая  y = y(x)  имеет касательную с угловым коэффициентом k  =  f(x, y(x)). Это означает, что через каждую точку (x, y) области определения функции f(x, y) можно провести небольшой отрезок с угловым коэффициентом k  =  f(x, y(x)). Выполнив такое построение для всех узлов некоторой прямоугольной сетки в области определения правой части уравнения , получим изображение поля направлений.   Когда узлы сетки расположены "достаточно часто" поле направлений дает полную картину поведения интегральных кривых.    

Метод изоклин — приближенный графический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1–го порядка. Метод позволяет "вручную" (без использования компьютера) построить изображение поля направлений и по этому изображению построить интегральную кривую, проходящую через заданную точку.       

Рассмотрим линии, в каждой точке которых угловой коэффициент интегральных кривых имеет одно и то же постоянное значение: f(x, y) = k, k = const. Такие кривые называются изоклинами дифференциального уравнения y' = f(x, y). Равенство f(x, y) = k —уравнение изоклины.    В каждой точке (x, y) изоклины f(x, y) =k     интегральные кривые уравнения имеют один и тот же угол наклона αrctg(α) = k.

Метод изоклин состоит в следующем.    

Строим достаточно густую сетку изоклин для различнх значений k и на каждой изоклине изображаем небольшие отрезки с наклоном k. Затем, начиная из точки (x₀, y₀), поводим линию, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. Полученная таким образом кривая и будет приближенным изображением (эскизом) интегральной кривой уравнения, проходящей через точку (x₀, y₀).

Метод изоклин как метод приближенного решения задачи Коши устарел. В его в основе лежит алгоритм изображения фрагмента поля направления, а современные компьютеры могут мгновенно и как угодно подробно нарисовать поле направлений, и достаточно точно изобразить интегральную кривую.

Однако, метод изоклин эффективно работает как инструмент исследования поведения решений. Он позволяет изобразить области характерного поведения интегральных кривых.

Например, изоклина f(x, y) = 0 — геометрическое место стационарных точек решения дифференциального уравнения, изоклины f(x, y) = k с большими значениями k показывают области быстрого роста решений и т.п.

5.ДУ 1-го порядка. Общие понятия. Теоремы существования и единственности.

Общий вид ДУ 1-ого порядка F(x, y, y') (1). Частное уравнение = f(x,y) (2), где действит. ф-ция f(x,y) задана в некоторой обл. D. (2) наз. уравнением разрешённым относительно производной.

D⊂R² – область в точке, которой у' = (1) имеет единств. решение.

Опр. Ф-ция у = ϕ(х,С), определённая в некоторой обл. изменения перемен. х и С, и имеющая непрер.частную производную по х наз. общим решением (1) в обл. D, если:

1)соотношение у = ϕ(х,С) (2) разрешимо относительно С при всех знач. у из обл. D, т.е. С = ψ(х,у) (3)

2)для всех знач. х и у из D (3) даёт такое знач. С, включая , при кот. ф-ция ϕ(х,С) будет явл. решением (1).

Опр. Если решение ур-ия (1) состоит только из точек единств. решения задачи Коши для этого ур-ия, то оно наз. частным решением.

Опр. Соотношение Ф(х,у,С) = 0 наз. общим интеграллом (1) в D, если оно определяет общее решение у = ϕ(х,С) ур-ия (1).

Опр. Решение в параметрической форме , зависящ. от произв. const C, наз. общим решением в параметр. форме.

Опр. Особым решением (1) наз. такое решение, в каждой точке кот. нарушена единств. задачи Коши.

Опр. Кривая, кот. в каждой своей точке касается хотя бы одной кривой семейства решений Ф(х,у,С) = 0 и ни на каком участке не совпадает ни с одной кривой этого семейства наз. огибающей кривой.

Огибающее семейство ур-ия (2) представляет собой особое решение этого ур-ия.

Опр. Точка (х,у)ϵD наз. точкой -ия ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0, если через неё проходит хотя бы одно решениеэтого ур-ия.

Опр.Точка -ия (х,у)ϵD, обладающая окрестностью внутри кот. все решения ур-ия, проход. через эту точку совпадают наз. точкой единствен.

Опр. Точка -ия (х,у)ϵD через кот. проход. 2 решения с одной касат. и различ. в любой сколь угодно малой окрестности рассматриваемой точки наз. точкой ветвления. Решение этого ур-ия, график кот. состоит из точек ветвления наз. особым решением.

Теор. Пикара Пусть дано уравнение = f(x,y) (1) и начальные условия у = у₀, х = х₀. Если ф-ция f(x,y) удовл. 2-м усл.: 1) непрер. по обеим перемен. в замкнут. обл. D = {(x,y) : |x-x₀| ≤ a, |y-y₀| ≤ b}, где a, b – некоторые известные положит. числа, из св-в непрер. ф-ции замкнут. обл. => такого числа М, что для всех точек (x,y)ϵ D : |f(x,y)| ≤ M. 2) f(x,y) в обл. D удовл. условию Липшица по перемен. у : |f(x,y₁) - f(x,y₂)| ≤ L |y₁ – y₂|, где L – постоянная Липшица. Тогда ! решение у(х) удовл. начальному условию у(х₀) = у₀ (2), определённое и непрер. диф-мое для знач. х из интервала |x-x₀| ≤ h, где h = min{a, } и х не выходит из обл. D.