41.Общее решение линейной однородной с-мы ду с постоянными коэффициентами.

Рассм лин с-му: (1), или (1')

, , или (1'')

Коэфф - постоян действ числа, -непр ф-и на . Применяя общую теорию лин с-м, можно утверждать, что с-ма (1) будет проинтегрирована в конечном виде, т.е м.б. получено реш-е в виде элемент ф-й или квадратур.

Рассм соотв однородную с-му: (2)

Для пост-я общ реш-я с-мы (1) нужно построить общ реш-е соотв однородн с-мы (2). Построим для этого какую-нибудь ФСР.

Построение ФСР и общ реш-я с-мы (2) в случае различных корней ХУ.

Следуя Эйлеру, реш-е с-мы (2) будем искать в виде (3), где -некот постоян числа, причем невсе одновременно равны 0. Подставим (3) в (2) и сокращая на , получим для определения чисел след с-му:

(4)

Для того чтобы однор лин с-ма имела ненул реш-я необх и дост , чтобы ее определитель был=0.

(5)

Ур-е (5) наз ХУ, а его корни - характ числа с-мы (2). Каждому из корней ХУ соотв хотя бы одно частн реш-е вида (3).

Различают 3 случая:

1)Все корни ур-я (5) различны и действительные. В этом случае, полагая в с-е (4) , где , мы получаем с-му : Решая эту с-му найдем ненулевые . Подставляя и в реш-е (3) имеем:

все эти реш-я л.н

Общ реш-е имеет вид:

2)Если характ числа различные, но среди них имеются комплексные. Последние входят сопряженными парами . все эти числа –корни ХУ.

Отделяя в реш-ии действ и мнимую часть , получим 2 веществ л.н частных реш-я однородн с-мы. Корню ХУ будут соотв л.з реш-я. Построив частн реш-я, соотв всем парам сопряжен корней и всем действ корням, взяв их лин комбинац, получим общее реш-е.

3)Случай наличия кратных корней.

Способ, предложенный ранее не применим. Имеет место т-ма.

Т-ма: Если - характ число кратности К, то ему соотв реш-е вида : , где полиномы не выше степени (k-1), имеющие в совокупности k произв коэфф. Все остальные коэфф выражаются через них.

42.Приведение нормальных с-м к уравнению n-го порядка и наоборот.

1)Приведение ур-ия n-ого порядка к с-ме n ур-ий 1-ого порядка.

Пусть дано ур-ие n-ого порядка: y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', y'', …, y^(n-1)).

Обозначим искомую ф-цию у = у₁. И введём в рассмотрение новые ф-ции у₂, у₃, ...,у_n, определяя их при помощи след. соотношений: у₂ = y', у₃ = y'', ..., у_n = y^(n-1). В силу такого выбора новых ф-ций и данного ур-ия будем иметь: - нормальная с-ма ДУ, равносильная исходному ур-ию.

2)Приведение норм. С-мы n ур-ий к одному ур-ию n-ого порядка.

Пусть дана с-ма: , где f_i – непрер. ф-ции, имеющие производные до порядка.

Продифферен. первое ур-ие (n-1) раз по х. Считая у_i ф-циями от х и заменяя после каждого диффер. производные y₁', y₂', ..., y_n' их выражениями из данной с-мы. Тогда получим с-му ур-ий: .

Предположим, что . Тогда с-ма ур-ий, составленная из 1-го ур-ия 1-ой с-мы и первых (n-2) 2-ой с-мы, разрешима относительно у₂, у₃, ..., у_n. При этом у₂, у₃, ..., у_n выраж. через x, y', y'', …, y^(n-1). Заменяя в последнем ур-ии второй с-мы ф-ции у₂, у₃, ..., у_n. Получим ур-ие 1-го порядка y₁⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', y'', …, y^(n-1)). Можно показать, что решение этого ур-ия и ф-ции у₁, у₂, ..., у_n дают общее решение исходной с-мы.