35.Теорема Пикара (док-во единственности решения задачи Коши).

Дано:

= f(x,y) (1) y(x₀) = y₀ (2)

1) D = {(x,y) : |x-x₀| ≤ a, |y-y₀| ≤ b}}, где a, b – некоторые известные положит. числа, из св-в непрер. ф-ции замкнут. обл. => такого числа М, что для всех точек (x,y)ϵ D : |f(x,y)| ≤ M.

2) |f(x,y₁) - f(x,y₂)| ≤ L |y₁ – y₂|, где L – постоянная Липшица.[ Условие Липшица: если для любых точек х и х', принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенств ∣f(x) — f(x')∣ ≤ L∣х - х'∣^α, где 0 < α ≤ 1 и L — некоторая постоянная].

Ǝ У(х) удовл. нач. условиям у(х₀) = у₀ ,определённое и непрер. диф-мое для знач. х из интервала |x-x₀| ≤ h, где h = min{a, } и х не выходит из обл. D.

Док-во.

_{Докажем единственность найденного решения, удовлетвор.начальному условию от противного.}

_{Пусть на отрезке ,кроме решения У(х) существует другое решение Z(x), удовлетворяющее тому же нач. усл. .Без ограничения общности можно предположить,что значение х,для кот. находящиеся вправо от х0 в любой близости от х0.Рассмотрим любой малый , на кот. .}

_{Так как У(х) и равны не во всех точках этого отрезка, то в некоторой точке х=х1, лежащей в интервале абсолютной величиной разности == достигает наибольшего значения}

_{2 решения}

_т.е,

_{Что невозможно, т.к е>0, поэтому его можно выбрать сколь угодно мало.Противоречие показывает, что на промежутке .Аналогично доказывается совпадение на промужутке ,т.е решение единственно.}

_{Зам. 1. В ходе док-ва заменили ДУ (1) интегральным уравнением (3),так как условие для равномерной сходимости последовательности интегралов значительно проще последовательности производн.}

_{Зам. 2. Док-во существования ДУ(1) проверено методом последовательных приближений в предположении,что правая часть ДУ удовлетворяет усл.Липшеца по переменной у.При помощи др. методов модно док-ть существ-е решения достаточно потребовать непрерывность ф-ции f(x,y) по обеим переменным (этого условия не обеспечит!!!)Метод последоват. Приближений – конструктивный метод,дающий способ приближ. Решения с определённой степенью точности.}

_{Зам. 3. Условие Липшица заведомо выполняется в той области, где f(x,y) имеет огранниченную састную производную по х.Но!!!неравенсво Лимпшеца может выполняться тогда, когда существует невсюду.}

36.Применение метода сжатых отображений для док-ва теоремы Пикара.

_{Опр.Пусть Х – полное метрическое пространство и пусть ,причём сущ-т действительной число α с условием 0< α <1, такое что выполняется нер-во: . F называется сжимающимся отображением.}

_{Теор. Стефана Банаха. Если - сжимающее, то сущ-т единств. точка , для которой . Точка х0- наз. неподвижной точкой сжимающего отображения f.}

Теор. Пикара. Пусть дано ДУ (1) и начальное условие: (2) . Если ф-ция удовл-т 2 усл:

1) непрерывна по обеим переменным в замкнутой обл. .

а, b- действительные числа. Из свойств непрерывной функции в замкнутой обл. Д, следовательно существуют такое число М, такое что: .

2) ф-ция в обл. Д удовлетворяет условию Липшица по переменной у: , где L- постоянная Липшица.

Тогда существует единственное решение y(x), удовлетворяющее начальному условию: ,определённое и непрерывно дифференцируемое для значения x из интервала , не выходящее при этих значениях из обл. Д

(Единственноре решение значит, что : , То эти решения совпадают на пересечении интервалов, где эти пересечения определены).

_►Рассмотрим метрическое пространство С, элементами которого являются всевозможные непрерывные функции y(x),определённые на .С -пространство непрерывных функций,определённых на ,графики ф-ций лежат в области Д.Расстояние определяется равенством: . Было доказано, что это пространство полное и что сходимость (в смысле метрики)означает равномерную сходимость. Запишем ДУ(1) с начальным усл. эквивалентным интегральным уравнением: _(*)

_{Рассмотрим оператор : ,ставящий в соответствие каждой неперрывной ф-ции у(х),заданную на} и имеющий графики ф-ции,не выходящие за область Д непрерывн. Ф. Ау, определённая на том же отрезке, графики которой не выходят из области Д

_{.Значит, оператор Ау отображает пространство} С в себя.

Уравнение (1) можно записать в виде:у=Ау. Тогда для док-ва торемы о существовании и единственности необходимо доказать существование в пространсве С единственно неподвижной точкой оператора А.Т.к. в этом смысле .Тогда интегральное уравнение удовлетворяется. Покажем, что оператор явл.юсжимающим,т.е ,где . т.к ф-ция f(x,y) на Д удовлетворяет условию Липшица, то

Надо взять h такое, чтобы .получим,что оператор А удовлетвор. Усл: ,т.е оператор сжимающийю

Согласно принципу сжатых отображений сущ-т ! неподвижная точка оператора А – это тоже самое,что сущ-т решение интегрального уравнения.◄