Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
билеты выш мат.docx
Скачиваний:
5
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
183.36 Кб
Скачать

28 Билет

Функции нескольких переменных

  1. Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области Wставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y). 

    z=f(x,y)

  2. Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.

  3. Частное и полное приращение функции.

Полное приращение функции 

Dz=f(x+Dxy+Dy)-f(x,y)

Частное приращение функции 

Dx z=f(x+Dx)-f(x,y)

Dy z=f(x,y+Dy)-f(x,y)

Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений.

29 Билет Частное и полное приращения функции двух переменных

            Рассмотрим сечения поверхности   z  f (х, у):

1 ) плоскостью х = сс = c o n s t . Точки этой плоскости АA/P/Р имеют одну и   ту же абсциссу х = с, (см. рис. 7);

      2) плоскостью у = b , b  = c o n s t . Все точки А , A/, B/ , В  этой плоскости  имеют одну и  ту же ординату у = b . Не меняя х, дадим приращение   ординате и построим плоскость y +    с точками: P(xy+ , 0) и  P/(xy+ , f (xy+ )), то есть функция  z f (х, у) получила частное   приращение , зависящее только от у: y: =f (xy+ ) - f (xy). Аналогично,  не меняя у, (пустьу = b ), придадим приращение   абсциссе. Построим плоскость x +  . Ей принадлежат точки: B(x+  , y, 0),   B/(x+  , yf (x+  , y)). Следовательно, функция получила частное приращение по переменной х:   f (x+  , y) - f (xy);

             3) одновременно дадим приращение переменным х и у. Тогда функция получит полное приращение               =f (x+  , y+ ) - f (xy).   На рис. 7 сравните точки:

D(x+  , y+ , 0) и D/(x+  , y+ , f (x+  , y+ )).

30 Билет

Частные производные

Пусть    -- внутренняя точка области   , и в области   задана функция   . Рассмотрим ограничение функции   на прямую   , проходящую через точку  параллельно оси   . Эта прямая задаётся условиями   при   ; переменная   может при этом произвольно меняться. Поэтому для рассматриваемого ограничения  имеется естественная параметризация, смысл которой в том, что "замораживаются" все переменные, от которых зависит   , кроме   :

Получили функцию одного переменного   , как параметризацию ограничения с помощью параметра   .

Рис.7.12.

Функция   может иметь производную в точке   , равную некоторому числу   . Это число называют частной производной функции   по переменной   , вычисленной в точке   . Эта частная производная обозначается   или   .

Сразу же заметим, что значения частных производных от функции   в точке   , вычисленные по разным переменным   и   , могут быть различными, так что обозначение типа   , без указания переменной, по которой вычислена частная производная, не имеет смысла: в обозначении обязательно нужно указывать переменную, по которой мы дифференцируем.

Итак, чтобы вычислить частную производную от функции   по некоторой переменной   , нужно фиксировать значения всех переменных, кроме   (то есть временно считать их постоянными), а затем по обычным правилам вычисления производных найти производную по этой единственной переменной   . Теперь ясно, что для вычисления частных производных никаких новых правил дифференцирования вдобавок к тем, что известны нам для функций одной переменной, не потребуется, ведь при вычислении частной производной мы считаем, что может изменяться только одна переменная.

Считая точку   , в которой вычисляется значение частной производной   , переменной точкой области   и предполагая, что во всех точках   эта производная существует, мы получаем, что частная производная    -- это функция, заданная в области   (или в её части, если производная существует не везде в   ).

Поскольку частную производную функции   можно вычислять по каждой из   переменных   , то функция   имеет   частных производных

Эти частные производные, вообще говоря, -- различные функции. Их называют также частными производными первого порядка от функции   . Итак, функция   переменных имеет   частных производных первого порядка.