
28 Билет
Функции нескольких переменных
Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области Wставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y).
z=f(x,y)
Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.
Частное и полное приращение функции.
Полное приращение функции
-
Dz=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y)
Частное приращение функции
-
Dx z=f(x+Dx)-f(x,y)
-
Dy z=f(x,y+Dy)-f(x,y)
Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений.
29 Билет Частное и полное приращения функции двух переменных
Рассмотрим сечения поверхности z = f (х, у):
1
) плоскостью х = с, с = c
o n s t . Точки этой плоскости А, A/, P/, Р имеют
одну и ту же абсциссу х = с,
(см. рис. 7);
2) плоскостью у = b , b = c
o n s t . Все точки А , A/, B/ , В
этой плоскости имеют одну и ту
же ординату у = b .
Не меняя х,
дадим приращение
ординате
и построим плоскость y +
с
точками: P(x, y+
,
0) и P/(x, y+
, f (x, y+
)),
то есть функция z = f (х, у)
получила частное приращение
,
зависящее только от у:
y:
=f (x, y+
)
- f (x, y).
Аналогично, не меняя у,
(пустьу = b ),
придадим приращение
абсциссе.
Построим плоскость x +
.
Ей принадлежат точки:
B(x+
, y,
0),
B/(x+
, y, f (x+
, y)).
Следовательно,
функция получила частное приращение
по переменной х:
= f (x+
, y)
- f (x, y);
3) одновременно
дадим приращение переменным х и у.
Тогда функция получит полное
приращение
=f (x+
, y+
)
- f (x, y).
На рис. 7 сравните точки:
D(x+ , y+ , 0) и D/(x+ , y+ , f (x+ , y+ )).
30 Билет
Частные производные
Пусть
--
внутренняя точка области
,
и в области
задана
функция
.
Рассмотрим ограничение функции
на
прямую
,
проходящую через точку
параллельно
оси
.
Эта прямая задаётся условиями
при
;
переменная
может
при этом произвольно меняться. Поэтому
для рассматриваемого ограничения
имеется
естественная параметризация, смысл
которой в том, что "замораживаются"
все переменные, от которых зависит
,
кроме
:
Получили
функцию одного переменного
,
как параметризацию ограничения с помощью
параметра
.
Рис.7.12.
Функция
может
иметь производную в точке
,
равную некоторому числу
.
Это число называют частной производной
функции
по
переменной
,
вычисленной в точке
.
Эта частная производная обозначается
или
.
Сразу
же заметим, что значения частных
производных от функции
в
точке
,
вычисленные по разным переменным
и
,
могут быть различными, так что обозначение
типа
,
без указания переменной, по которой
вычислена частная производная, не имеет
смысла: в обозначении обязательно нужно
указывать переменную, по которой мы
дифференцируем.
Итак, чтобы вычислить частную производную от функции по некоторой переменной , нужно фиксировать значения всех переменных, кроме (то есть временно считать их постоянными), а затем по обычным правилам вычисления производных найти производную по этой единственной переменной . Теперь ясно, что для вычисления частных производных никаких новых правил дифференцирования вдобавок к тем, что известны нам для функций одной переменной, не потребуется, ведь при вычислении частной производной мы считаем, что может изменяться только одна переменная.
Считая
точку
,
в которой вычисляется значение частной
производной
,
переменной точкой области
и
предполагая, что во всех точках
эта
производная существует, мы получаем,
что частная производная
--
это функция, заданная в области
(или
в её части, если производная существует
не везде в
).
Поскольку
частную производную функции
можно
вычислять по каждой из
переменных
,
то функция
имеет
частных
производных
Эти частные производные, вообще говоря, -- различные функции. Их называют также частными производными первого порядка от функции . Итак, функция переменных имеет частных производных первого порядка.