20 Билет

Теорема Лопиталя:

1.  либо  ;

2.  и   дифференцируемы в проколотой окрестности  ;

3.  в проколотой окрестности  ;

4. существует  ,

тогда существует  .

Пределы также могут быть односторонними.

Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида  ).

Поскольку мы рассматриваем функции   и   только в правой проколотой полуокрестности точки  , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть  . Возьмём некоторый   из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку   теорему Коши. По этой теореме получим:

,

но  , поэтому  .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через  , из полученного равенства выводим:

 для конечного предела и

 для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида  .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен  . Тогда, при стремлении   к   справа, это отношение можно записать как  , где   —O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем   из отрезка   и применим теорему Коши ко всем   из отрезка  :

, что можно привести к следующему виду:

.

Для  , достаточно близких к  , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как   и   — константы, а   и   стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен  , где   — бесконечно малая функция при стремлении   к   справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение  , что и в определении для  :

.

Получили, что отношение функций представимо в виде  , и  . По любому данному   можно найти такое  , чтобы модуль разности отношения функций и   был меньше  , значит, предел отношения функций действительно равен  .

Если же предел   бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении   будем брать  ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при  , достаточно близких к  , а тогда  .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

21 Билет

Возрастание и убывание функции на интервале.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых   и  выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

22 Билет

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку   называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  . Значение функции в точке максимума называютмаксимумом функции и обозначают  .

Точку   называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  . Значение функции в точке минимума называютминимумом функции и обозначают  .

Под окрестностью точки   понимают интервал  , где   - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.