28. Тригонометрический ряд Фурье. Разложение в ряд периодических функций.

При изуч разнообразн периодич процессов,т.е процессов, котор через определ промежуток времени повтор, целесообразнее разлагать периодич функц, описывающ эти процессы, не в степенной ряд, а в так назыв тригонометрич ряд.С помощью тригонометрич ряда любую периодич функц можно представить в виде ряда, членами которого явл простые гармоники.Тригонометрич рядом назыв функц ряд вида а₀/2+а₁cosx+b₁sinx+…+a_ncosnx+b_nsinnx+…= а₀/2+∑^∞_n=1a_ncosnx+b_nsinnx, где действит числа a₀,a_n,b_n наз коэфф ряда. Для ряда Фурье a₀=(1/pi)* ʃ ^pi_{- pi}f(x)dx, a_n=(1/pi)* ʃ ^pi_{- pi}f(x)*cosnxdx, n=1,2,3; b_n=(1/pi)* ʃ ^pi_{- pi}f(x)*cosnxdx, n=1,2,3; а тригонометрич ряд с такими коэфф назыв рядом Фурье. И запис он f(x)͠ а₀/2+∑^∞_n=1a_ncosnx+b_nsinnx, и говорят, функции f(x) соответствует ее ряд Фурье.

Разложение в ряд периодических функций: пусть мы имеем периодическую функцию, тогда мы ее можем разложить в ряд фурье.

29. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

Выясним, когда знак соотв( ͠ ) можно замен знаком равенства(=), т.е. когда ряд Фурье функции f(x) сходится. Будем рассматр функции f(x), имеющ период Т=2pi.Такие функции назыв 2pi-периодич. Сформулируем теорему, представл достаточное усл-е разложимости функции в ряд Фурье.Т(Дирихле): Пусть 2pi-периодич функц f(x) на отрезке [-pi, pi] удовлетвор 2-м условиям:

1. f(x) кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-го рода

2. f(x) кусочно-монотонна,т.е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечн число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Т.о., если функц f(x) удовлетвор усл теоремы, то на отрезке [-pi, pi] имеет место разложение: f(x)=а₀/2+∑^∞_n=1a_ncosnx+b_nsinnx, где a₀=(1/pi)* ʃ ^pi_{- pi}f(x)dx, a_n=(1/pi)* ʃ ^pi_{- pi}f(x)*cosnxdx, n=1,2,3; b_n=(1/pi)* ʃ ^pi_{- pi}f(x)*sinnxdx, n=1,2,3;

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций: если разлаг на отрезке [-pi, pi] в ряд Фурье функц f(x) явл четной или нечетной, то это отраж на формулах коэффициентов Фурье и на виде самого ряда. Если функция четная то ее ряд фурье имеет вид f(x)= а₀/2+∑^∞_n=1a_ncosnx, a₀=(2/pi)* ʃ ^pi₀ f(x)dx a_n=(2/pi)* ʃ ^pi₀ f(x)*cosnxdx; Если функция нечетная то ее ряд фурье имеет вид f(x)=∑^∞_n=1b_nsinnx, b_n=(2/pi)* ʃ ^pi₀ f(x)*sinnxdx

30. Представление непериодических функций рядом Фурье.

Пусть y=f(x) – непериодич функция, задан на всей числ оси.Такая функц не может быть разлож в ряд Фурье,т.к. сумма ряда Фурье есть функц периодич и она не может быть равно f(x) для всех х.Однако непериодич функц f(x) может быть представл в виде Фурье на любом конечн промеж [a,b], на котор она удовлетвор условиям Дирехле. Для этого можно поместить начало корд в середину отрезка [a,b] и построить функц f₁(x) периода Т=2l=|b-a| такую, что f₁(x)= f(x) при –l<=x<=l и

f₁(x)= а₀/2+∑^∞_n=1an(cos(n*pi*x)/l)+bn(sin(n*pi*x)/l), a₀=(1/l)* ʃ ^b_a f(x)dx, a_n=(1/l)* ʃ ^b_a f(x)* (cos(n*pi*x)/l)dx, b_n=(1/l)* ʃ ^b_a f(x)* (sin(n*pi*x)/l)dx;

1)если функция четная и пусть она задана на промежутке [0,b), то f(x)= а₀/2+∑^∞_n=1an(cos(n*pi*x)/b), a₀=(2/b)* ʃ ^b₀ f(x)dx ,a_n=(2/b)* ʃ ^b₀ f(x)*(cos(n*pi*x)/b)dx;

2) если функция ytxtnyfz и пусть она задана на промежутке [0,b), то f(x)=∑^∞_n=1b_n (sin(n*pi*x)/b), b_n=(2/b)* ʃ ^b₀ f(x)*(sin(n*pi*x)/b)dx.