25. Понятие степенного ряда. Сходимость степенных рядов.

Ряд, членами которого явл функции от х, назыв функциональным: ∑^∞_n=1u_n(x)= u₁(x₁)+ u₂(x₂)+ u₃(x₃)+… u_n(x)+…;придавая х определенное знач х₀ мыполуч числовой ряд котор может быть как сходящ, так и расходящ.Если получ числ ряд сходится, то точка х₀ наз точкой сходимости ряда, если же ряд расх – точкой расходимости.Среди функциональн рядов в матем особую роль играет ряд, членами котор явл степенные функц аргумента х, т.е. так назыв степенной ряд: ∑^∞_n=0a_nxⁿ=a₀+ a₁x+ a₂x²+…+ a_nxⁿ+…(1)

Действит или комплексн числа a₀, a₁, a₂,…, a_n,… наз коэфф ряда.

Сходимость степенных рядов:Об обл сход степ ряда можно судить исходя ис след т. Т.(Абель): если степ ряд (1) сходится при х=х₀и не равн 0, то он абсол сход при всех знач х, удовл нерав-ву |х|<|х₀|.Сл-е: Если ряд (1) расход при х=х₁, то он а расход при всех знач х, удовл нер-ву |х|<|х₁|. Интервал и радиус сход степ ряда: из теор Абеля следует, что если х₀ не равн 0 есть точка сходимости степ ряда, то интервал (-|х₀|;|х₀|) весь сост из точек сход данного ряда. Интервал (-|х₀|;|х₀|) наз интервалом сходимости. Положив, что R=|х₀|, интервал сход можно записа (-R;R).число R наз радиусом сход степ ряда. R=lim_n→∞|a_n/ a_n+1| затем интервал сход степ ряда нах из неравенства |x-x₀|<R следоват (x₀- R; x₀+ R).

26. Разложение элементарных функций в степенной ряд.

Ряды Тейлора и Маклорена

Важно уметь данн функц f(x) разлаг в степ ряд, т.е. функц f(x) представл в виде степ ряда. Формула Тейлора: f(x)=f(x₀)+(f ’(x₀)/1!)*(x-x₀)+…=∑^∞_n=0(f ⁽ⁿ⁾(x₀)/n!)(x-x₀)ⁿ+R_n(х)(1).если функц f(x) имеет производн любых порядков в окр точки х₀ и остаточн член R_n(х) стремится к 0, то из формулы тейлора получ ряд тейлора: f(x)=f(x₀)+(f ’(x₀)/1!)*(x-x₀)+…=∑^∞_n=0(f ⁽ⁿ⁾(x₀)/n!)(x-x₀)ⁿ(2)_. Если в ряде Тейлора положить х₀=0, то получим разлож функции по степ х в так назыв ряд Маклорена: f(x)=f(0)+(f ’(0)/1!)*x+(f ’’(0)/2!)*x²+ …=∑^∞_n=0(f ⁽ⁿ⁾(0)/n!)xⁿ. Пусть для функции f(x) составлен соотв ей ряд тейлора.Т1:Для того чтобы ряд Тейлора (1) сходился к функции f(x) в точке х,необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (1) стремился к нулю при n→∞ ,т.е. чтобы limR_n=0. Т2:Если модули всех производных функций f(x) огранич в окрестн точки х₀ одним и тем же числом М>0, то для любого х из этой окр ряд Тейлора функции f(x) сходится к функции f(x),т.е. имеет место разложение (2).

Разлож-е некотор элемент функц в ряд Тейлора(Маклорена):

27. Приближенное вычисление функций и определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить знач функц f(x) при х=х₁ с задан точностью е>0. Если функц f(x) в интервале (-R;R) можно разлож в степ ряд f(x)= a_nxⁿ=a₀+ a₁x+ a₂x²+…+ a_nxⁿ+…и х принадл (-R;R), то точное знач-е f(x₁) равно сумме этого ряда при х=х₁, а приближен – частичной сумме S_n(x₁), т.е. f(x₁)приблиз равно S_n(x₁)= a_nxⁿ=a₀+ a₁x₁+ a₂x²₁+…+ a_nxⁿ₁.точность этого рав-ва цвелич с ростом n.

Приближ вычисл определ интегралов:бесконечн ряды также примен для приближ вычисл неопредел и определ интегралов. Пусть требуется вычислить ʃ^b_af(x)dx с точн до е>0.Если подынт функц f(x) можно разлож в ряд по степеням х и инт сходимости (-R;R) вкюч в себя отрезок [a,b], то для вычисл заданного интеграла можно воспользоваться сво-вом почленного интегрир этого ряда.