22. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных прихнаков. Рассмотр некотор из них для знакополож рядов,т.е. рядов с неотриц членами.Сходим и расходим знакополож ряда часто установл путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или нет.Т1:Пусть даны два знакополож ряда ∑^∞_n=1u_n(1) и ∑^∞_n=1v_n (2)если для всех n выполн нер-во u_n<= v_n то из сходим ряда (2) следует сходим ряда (1), из расхоим ряда(2) след расх (1).

Т2(предельн признак сравн):Пусть даны два знакополож ряда (1) и (2).Если сущ конечн,отличн от 0,предел lim _n→∞ u_n /v_n=A(0<A<∞), то ряды (1)(2) сходятся или расход одновременно. Т3(признак Даламбера):Пусть дан ряд ∑^∞_n=1u_n= u₁+ u₂+…+ u_n+…, (3) с полож членами и сущ конечн или бесконечн предел lim _n→∞ u_n /u_n+1=l.тогда ряд сход при l<1 и расход при l>1. Т4(радикальн признак Коши):Пусть дан ряд (3) с полож членами и сущ конечн или бесконечн предел lim _n→∞ (u_n)^1/n=l. Тогда ряд сход при l<1 и расход при l>1.Т5(Интегральн признак Коши(обобщен гармонич ряд)): Если члены знакополож ряда ∑^∞_n=1u_nмогут быть представл как числ знач некотор непрерывн монотонно убывающ на промежутке [1,+∞] функц f(x) так, что u₁= f(1), u₂= f(2),…, u_n f(n),…,то:1) если ʃ ^+∞₁f(x)dx сход, то сход и ряд;2) ʃ ^+∞₁f(x)dx расход, то и сам ряд расход.

23. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Знакочередущю рядом наз ряд вида u₁- u₂+ u₃- u₄+…+∑^∞_n=1 (-1)ⁿ⁺¹u_n (1), где u_n>0.Для знакочеред рядов имеет место достаточн признак сходимости.Т1(признак Лейбница): знакочеред ряд (1) сходтися, если:1)Последовательность абсолютн членов ряда монотонно убывает,т.е. u₁> u₂> u₃>…> u_n>…;2)Общий член ряда стремится к 0: lim _n→∞ u_n=0, при этом сумма ряда S удовл нервенству 0< S < u₁.Пример: вычисл приблизит сумму ряда ∑^∞_n=1(-1)ⁿ⁺¹1/nⁿ.реш-е:данн ряд сходится, можно записать 1-1/2²+1/3³-…=S.Взяв 5 членов, т.е. заменив S на S₅=1-1/2²+1/3³-1/4⁴+1/5⁵=0.7834.

24. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

Знакоперемен ряд наз абсолютно сходящ, если ряд составл из модулей его членов сходится.Знакоперемен ряд наз условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составл из модулей его членов, расходится.Основные сво-ва абсолютно сходящ рядов:

1. Если ряд абсолютно сход и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд(теорема Дирихле)

2. Абсолютно сходящ ряды с суммами S1 и S2 можно почленно складывать (вычетать).В результате получ абсолютно сходящ ряд, сумма которого равна S1+S2(или соотв-но S1-S2)

3. Под произведением двух рядов u₁ u₂+… и v₁ v₂+…понимаю ряд вида: (u₁ v₁)+( u₁ v₂+ u₂ v₁)+( u₁ v₃+ u₂ v₂+ u₃ v₁)+…+( u₁ v_n+ u₂ v_n-1+… +u_n v₁)+…, произведение 2-х абсолютно сход рядов с суммами S1 и S2 есть абсолютно сход ряд S1*S2.

В случае условно сходящ ряда соотв отверждения(сво-ва) не имеют места.