- •6. Определение двойного интеграла, геометрический и физический смысл, основные сво-ва 2-го интеграла.
- •7. Определение тройного интеграла, геометрический и физический смысл, основные сво-ва 3-го интеграла.
- •8. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах.
- •9. Приложения двойного и тройного интегралов.
- •10. Определение и свойства криволинейных интегралов I рода и их вычисл.
- •11. Определение и свойства криволинейных интегралов II рода и их вычисление.
- •12. Формула Остроградского-Грина.
- •13. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.
- •14. Приложения криволинейных интегралов.
- •15. Определение и свойства поверхностных интегралов I рода.
- •16. Определение и свойства поверхностных интегралов II рода.
- •17. Вычисление поверхностных интегралов I рода.
- •18. Вычисление поверхностных интегралов II рода.
- •19. Формула Остроградского-Гаусса.
- •20. Формула Стокса.
- •21. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости.
- •22. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •23. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •24. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
- •25. Понятие степенного ряда. Сходимость степенных рядов.
- •26. Разложение элементарных функций в степенной ряд.
- •27. Приближенное вычисление функций и определенных интегралов.
- •28. Тригонометрический ряд Фурье. Разложение в ряд периодических функций.
- •29. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
- •30. Представление непериодических функций рядом Фурье.
- •31. Представление функции интегралом Фурье.
- •32. Понятие поля. Скалярные и векторные поля.
- •33. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
- •34. Поток вектора через поверхность.
- •35. Дивергенция поля.
- •36. Формула Остроградского-Гаусса.
- •37. Циркуляция поля.
- •38. Ротор поля.
- •39. Формула Стокса.
- •40. Соленоидальные и потенциальные векторные поля.
- •41. Гармонические поля.
- •42. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
- •43. Основные элементарные функции комплексного переменного.
- •44. Определение дифференцируемости функции комплексного переменного.
- •45. Условия Коши-Римана.
- •46. Аналитические функции.
- •47. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
- •48. Определение и свойства интеграла от функции комплексного переменного.
- •49. Интегральная теорема Коши.
- •50. Формула Ньютона-Лейбница.
- •51. Интегральная формула Коши.
- •52. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
- •53. Нули аналитической функции.
- •54. Ряды Лорана. Теорема Лорана.
- •55. Классификация особых точек аналитической функции.
- •56. Понятие вычета.
- •57. Вычисление вычетов в полюсах аналитической функции.
- •58. Теорема Коши о вычетах.
- •59. Вычисление вычета в полюсе первого порядка.
- •60. Применение теории вычетов для вычисления интегралов.
- •61. Определение преобразования Лапласа.
- •62. Оригиналы и их изображения.
- •63. Существование изображения. Необходимый признак существования изображения.
- •64. Свойства преобразования Лапласа.
- •65. Определение обратного преобразования Лапласа.
- •66. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений.
- •1. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •2. Частные производные высших порядков.
- •3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных.
- •4. Определение экстремума функции двух переменных. Необходимые условия экстремума.
- •5. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
15. Определение и свойства поверхностных интегралов I рода.
Обобщением 2-го инт явл так назыв пов интеграл. Сумма ∑ni=1f(xi,yi,zi) ΔSi (1) – называется интегральн для функции f(x,y,z) по пов-сти S. Если при λ=maxdi→0 интегральн сумма (1) имеет предел, то она назыв по винт 1-го рода от функц f(x,y,z) по пов-сти S и обознач ʃ ʃS f(x,y,z)ds. Т.о по опр ʃ ʃs f(x,y,z)ds=limλ→0∑ni=1f(xi,yi,zi) ΔSi.
Сво-ва
ʃ ʃsс* f(x,y,z)ds=с* ʃ ʃs f(x,y,z)ds, где с-число
ʃ ʃs (f1(x,y,z)+(-) f2(x,y,z))ds= ʃ ʃs (f1(x,y,z)+(-) ʃ ʃs f2(x,y,z))ds
ʃ ʃs f(x,y,z)ds= ʃ ʃs1 f(x,y,z)ds+ ʃ ʃs2 f(x,y,z)ds3
если f1(x,y,z)<= f2(x,y,z)), то ʃ ʃs (f1(x,y,z) <= ʃ ʃs f2(x,y,z))ds
ʃ ʃsds=S,где S-площ пов S.
| ʃ ʃs f(x,y,z)ds |<= ʃ ʃs | f(x,y,z) | ds
Если функц f(x,y,z) непрерывн на пов S, то на этой пов-сти сущ точка (xс,yс,zс) такая, что ʃ ʃsf(x,y,z)ds= f(xс,yс,zс)* S.
16. Определение и свойства поверхностных интегралов II рода.
По винт 2-го рода строится по образцу криволин инт 2-го рода, где направл крив разлаг на элементы и проектир их на корд оси; знак брали в завис от того, совпадало ли направл-е с направл оси или нет.Пусть мы имеем сумму ∑ni=1f(xi,yi,zi) Δσi (1), где Δσi=(Si)Oxy- площадь пов Si на плоскость Оху. Предел инт сумм (1) при λ=maxdi→0, если он сущ и не завис от способа разбиен пов S на части Si и выбора точек Mi принадл Si наз поверхностн интегралом 2-го рода от функц f(x,y,z) по перемен х и у по выбран стороне пов-сти и обознач ʃ ʃs f(x,y,z)dx dy. Итак ʃ ʃs f(x,y,z)dx dy= limλ→0∑ni=1f(xi,yi,zi) Δσi.
Общим видом по винт 2-го прода служит интеграл ʃʃsР(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy, где PQR-нерерывн функц.
Сво-ва
Пов инт 2-го рода измен знак при перемене стороны пов.
Постоян множ можно вынести за знак по винт
Пов инт от сумм функц равен сумме соотв инт от слогаемых
Пов инт 2-го рода по всей пов S=S1+S2равен сумм инт по ее частям если S1 и S2 пересек по границ их разделяющей(аддитивн сво-во)
S1,S2,S3-цилиндр рв-сти с образующими паралленльн соотве-но осям Oz,Ox,Oy,то ʃʃS1 R(x,y,z)dx dy= ʃʃS2 P(x,y,z)dydz=ʃʃS3Q(x,y,z)dx dz=0
17. Вычисление поверхностных интегралов I рода.
Вычисл по винт 1-го рода свод к вычисл двойного инт по обл D – проекции пов S на плоск Оху. Для того чтобы вычисл по винт 1-го рода использ формулу:
ʃʃS f(x,y,z)ds= ʃʃD f(x,y,z(x,y))*(1+zx’ 2+ zy’ 2) 1/2 dxdy,использ при замене z на z(x,y)
ʃʃS f(x,y,z)ds= ʃʃD f(x,y(x,z),z)*(1+yx’ 2+ yz’ 2) 1/2dxdz,использ при замене y на y(x,z)
ʃʃS f(x,y,z)ds= ʃʃD f(x(y,z),y,z)*(1+xy’ 2+ xz’ 2) 1/2dydz,использ при замене x на x(y,z)
Пример: вычисл I= ʃʃS (x-3y+2z)ds, где s-часть плоск 4x+3y+2z-4=0.располож в перв октанте.сначала выразим z и найдем zx’,zy’. Подставим все в формулу.