- •6. Определение двойного интеграла, геометрический и физический смысл, основные сво-ва 2-го интеграла.
- •7. Определение тройного интеграла, геометрический и физический смысл, основные сво-ва 3-го интеграла.
- •8. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах.
- •9. Приложения двойного и тройного интегралов.
- •10. Определение и свойства криволинейных интегралов I рода и их вычисл.
- •11. Определение и свойства криволинейных интегралов II рода и их вычисление.
- •12. Формула Остроградского-Грина.
- •13. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.
- •14. Приложения криволинейных интегралов.
- •15. Определение и свойства поверхностных интегралов I рода.
- •16. Определение и свойства поверхностных интегралов II рода.
- •17. Вычисление поверхностных интегралов I рода.
- •18. Вычисление поверхностных интегралов II рода.
- •19. Формула Остроградского-Гаусса.
- •20. Формула Стокса.
- •21. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости.
- •22. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •23. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •24. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
- •25. Понятие степенного ряда. Сходимость степенных рядов.
- •26. Разложение элементарных функций в степенной ряд.
- •27. Приближенное вычисление функций и определенных интегралов.
- •28. Тригонометрический ряд Фурье. Разложение в ряд периодических функций.
- •29. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
- •30. Представление непериодических функций рядом Фурье.
- •31. Представление функции интегралом Фурье.
- •32. Понятие поля. Скалярные и векторные поля.
- •33. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
- •34. Поток вектора через поверхность.
- •35. Дивергенция поля.
- •36. Формула Остроградского-Гаусса.
- •37. Циркуляция поля.
- •38. Ротор поля.
- •39. Формула Стокса.
- •40. Соленоидальные и потенциальные векторные поля.
- •41. Гармонические поля.
- •42. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
- •43. Основные элементарные функции комплексного переменного.
- •44. Определение дифференцируемости функции комплексного переменного.
- •45. Условия Коши-Римана.
- •46. Аналитические функции.
- •47. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
- •48. Определение и свойства интеграла от функции комплексного переменного.
- •49. Интегральная теорема Коши.
- •50. Формула Ньютона-Лейбница.
- •51. Интегральная формула Коши.
- •52. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
- •53. Нули аналитической функции.
- •54. Ряды Лорана. Теорема Лорана.
- •55. Классификация особых точек аналитической функции.
- •56. Понятие вычета.
- •57. Вычисление вычетов в полюсах аналитической функции.
- •58. Теорема Коши о вычетах.
- •59. Вычисление вычета в полюсе первого порядка.
- •60. Применение теории вычетов для вычисления интегралов.
- •61. Определение преобразования Лапласа.
- •62. Оригиналы и их изображения.
- •63. Существование изображения. Необходимый признак существования изображения.
- •64. Свойства преобразования Лапласа.
- •65. Определение обратного преобразования Лапласа.
- •66. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений.
- •1. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •2. Частные производные высших порядков.
- •3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных.
- •4. Определение экстремума функции двух переменных. Необходимые условия экстремума.
- •5. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
12. Формула Остроградского-Грина.
Связь между двойным интегралом по обл D и криволин инт по границе L этой обл устанавл формула Остроградского-Грина.Пусть по плоскости Оху задана обл D,огранич кривой, пересек с прмыми, параллельными корд осям не более чем в 2-х т.,т.е. обл D-правильн. Теорема: Если функц Р(x,y) и Q(x,y) непрерывн вместе со своими частн производн dP/dy и dQ/dx в обл D, то имеет место формула
ʃʃD(dQ/dx- dР/dy)dxdy=§LPdx+Qdy (1), где L – граница обл D. Формула (1) наз Остроградского-Грина. Док-во: Пусть у=φ1(х)- ур-е дуги AnB, а у=φ2(х) – ур-е дуги AmB.Найдем сначала ʃʃD dР/dy*dxdy. По правилу вычисл 2-го инт имеем: ʃʃD dР/dy*dxdy=ʃAmBP(x,y)dx- ʃAnBP(x,y)dx=- ʃBmAP(x,y)dx- ʃAnBP(x,y)dx=-§LP(x,y)dx. Аналогичн доказ ʃʃD dQ/dy*dxdy=§LQ(x,y)dx,если из пер врав-ва вычесть второе то получим рав-во (1).
13. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.
Теорема. Для того чтобы криволин инт I=ʃ LPdx+Qdy не зависел от пути интегрир в односвяз обл D, в котор функции Р(х,у), Q(х,у) непрерывны вместе со своими частн производн, необходимо и достаточно, чтобы в кажд точке этой обл выпол усл-е dР/dy= dQ/dx(1). Док-во: докажем дост-ость усл (1). Рассмотр произвол замкн контур AmBnA в обл D. Для него имеет место формула Остроградского-Грина. В силу усл (1) имеем: §AmBnAPdx+Qdy =0. Учит сво-ва криволин инт: §AmBnAPdx+Qdy=§AmBPdx+Qdy+§BnAPdx+Qdy=§AmBPdx+Qdy-§AnBPdx+Qdy=0, т.е. §AmBPdx+Qdy=§AnBPdx+Qdy. Получ рав-во означ, что криволин инт не завис от пути инт. В ходе док-ва получ, что если выполн усл dР/dy= dQ/dx, то инт по замкнут контур =0: §LPdx+Qdy =0.
След-е. Если выполн усл (1) то подынт выраж P(х,у)dx+Q(х,у)dy явл полн дифф функц u=u(x,y),т.е. P(х,у)dx+Q(х,у)dy=dU(x,y), тогда I= ʃ(x2,y2(x1,y1)) P(х,у)dx+Q(х,у)dy= ʃ(x2,y2(x1,y1))=U(x2,y2)-U(x1,y1), т.е. ʃ(x2,y2(x1,y1)) P(х,у)dx+Q(х,у)dy= U(x2,y2)-U(x1,y1) – это формула назыв обобщенной формулой Ньютона-Лейбница для лин инт.
След-е. Если подынт выраж P(х,у)dx+Q(х,у)dy есть полн дифф-л и путь инт-я L замкнутый, то §LPdx+Qdy =0.
14. Приложения криволинейных интегралов.
Прилож криволин инт 1-го рода
Длина l кривой АВ плоск или пространсв линии вычисл: l=ʃАВdl.
S цилиндрич пов: если направлящю цилиндрич пов служт кривая АВ, лежащ в плоска Оху, я образующ параллельн оси Oz, то Sпов, задаваем функц z=f(x,y), нах: Q =ʃАВ f(x,y)dl.
Масса материальн кривой АВ (провод, цепь) определ формулой
m= ʃАВץ(M)dl, где =ץ ץ(M)= ץ(х,у)-плотность кривой в точке М.
Статические моменты, центр тяжести. Статич моменты относ осей Ох, Оу и корд центра тяжести матер кривой АВ определ по формулам: Sx= ʃАВ y *ץ(x,y)dl, Sy= ʃАВ x *ץ(x,y)dl, xc=Sy/m, yc=Sx/m
Моменты инерции: Для матер кривой АВ моменты Ix,Iy,IO инерции относ осей Ох, Оу и нач корд равны: Ix= ʃАВ у*y *ץ(x,y)dl, Iy= ʃАВ x*х *ץ(x,y)dl, IO=(x2+y2) *ץ(x,y)dl.
Прилож криволин инт 2-го рода
S плоск фигуры, располож в плоск Оху и огранич замкнут линией L, можно найти по формуле: S=1/2*=§Lxdy+ydx, при этом кривая L обходится против часов стрелки.
Работа переменной силы: перемен сила F(P(x,y);Q(x;y)) на криволин участке АВ производит раб, котор нах по формуле А= ʃАВ Pdx+Qdy