10. Определение и свойства криволинейных интегралов I рода и их вычисл.

Пусть на плоскости Оху задана непрерывн кривая АВ длины l. Рассмотр непрерывн функц f(x,y), определен в точках дуги АВ. Разобем кривую АВ точками М₀=А, М₁, М₂,…, М_n=В на n произвольн дуг М_i-1 М_i c длин Δl_i. Выберем на кажд дуге М_i-1 М_i произвольн точку (x_i,y_i) и составим сумму ∑ⁿ_i=1f(x_i,y_i) Δl_i. Ее наз интегральн сум для функц f(x,y) по кривой АВ. Пусть λ=max _1<=i<=n Δl_i – наибольш из длин дуг деления.Если при λ→0 сущ конечн предел интегральн сумм то его наз кривольинейным интегралом от функц f(x,y) по длине кривой AB и обознач ʃ_АВf(x,y)dl, т.о. по определ ʃ_АВf(x,y)dl=lim_{n→∞(λ→0)}∑ⁿ_i=1f(x_i,y_i) Δl_i.

Сво-ва

1. ʃ_АВf(x,y)dl= ʃ_ВАf(x,y)dl(не завис от направл пути интегрир)

2. ʃ_Lс*f(x,y)dl=с* ʃ_Lf(x,y)dl, с=const.

3. ʃ_L((f1(x,y)+(-) (f2(x,y))dl= ʃ_Lf1(x,y)dl+(-) ʃ_Lf2(x,y)dl

4. ʃ_Lf(x,y)dl= ʃ_L1f(x,y)dl+ ʃ_L2f(x,y)dl

5. если f1(x,y)<= f2(x,y) ,то ʃ_Lf1(x,y)<= ʃ_L f2(x,y)

6. ʃ_АВdl= lim_n→∞∑ⁿ_i=1 Δl_i=l, где l – длина кривой АВ.

7. Если функц f(x,y) непрерывн на АВ, то на этой кривой найдется точка (x_с,y_с) такая, что ʃ_АВf(x,y)dl=f(x_с,y_с)*l(теорема о среднем).

Вычисление

Вычисление криволин инт 1-го рода может быть сведено к вычисл определен инт.

1. Параметрич представл кривой интегрир. Если кравая АВ задана параметрич ур-ями х=х(t), y=y(t), t принадл [α,β],где х(t),y(t)- непрерывн диф функц параметра t, причем точке А соотв t= α, точке В соотв t= β,то ʃ_АВf(x,y)dl=ʃ^β_α f (х(t),y(t))*(x_t^2’+ y_t^2’)^1/2dt

2. Явное представление кривой интегрирования. Если кривая АВ задана ур-ем у=φ(х), х принадл[a,b], где φ(х)-непрерывно диф функц,то ʃ_АВf(x,y)dl= ʃ^b_a f (х, φ(х))*(1+ y’_x^{2 ’})^1/2dx.

11. Определение и свойства криволинейных интегралов II рода и их вычисление.

Пусть на плоск Оху задана непрерывн кривая АВ и функц Р(х,у), определен в каждой точке кривой. Разобем кривую АВ точками М₀=А, М₁, М₂,…, М_n=В в направл от точки А к точке В на n дуг М_i-1 М_i c длин Δl_i.Выберем на кажд дуге М_i-1 М_i произвольн точку (x_i,y_i) и составим сумму ∑ⁿ_i=1Р(x_i,y_i) Δх_i (1), где Δх_i=х_i - х_i-1 – проекция дуги М_i-1 М_i на ось Ох. Сумму (1) назт инт сум для функц Р(x,y) по перемен х. таких сумм можно составить бесконечн множ-во. Если λ=max _1<=i<=n Δl_i→0 интегр сумма (1) имеет конечн предел, не зависящ ни от спос разбиен крив АВ, ни от выб точ (x_i,y_i), то его наз криволин инт по координ х(или 2-го рода) от функц Р(х,у) по крив АВ и обознач ʃ_АВР(x,y)dх, итак ʃ_АВР(x,y)dх =lim_n→∞∑ⁿ_i=1Р(x_i,y_i) Δх_i, аналогично

ʃ_АВQ(x,y)dy =lim_n→∞∑ⁿ_i=1Q(x_i,y_i) Δy_i;Криволин инт 2-го рода определ рав-вом:

ʃ_АВР(x,y)dх+ Q(x,y)dy= ʃ_АВР(x,y)dх+ʃ_АВQ(x,y)dy

Сво-ва

1. При измен направл пути интегрир криволин инт 2-го рода меняет знак на противополож ʃ_АВ =- ʃ_ВА

2. ʃ_АВ =ʃ_АС+ ʃ_СВ

3. если АВ лежит на плоск перпендик оси Ох, то ʃ_LР(x,y)dх=0, аналогично с Оу ʃ_LQ(x,y)dх=0

4. Криволин инт по замкнут крив (обознач §) не завис от выбора нач точки. Док-во §_AmCnA= ʃ_AmC+ ʃ_CnA, c другой стор . §_CnAmC= ʃ_CnA+ ʃ_AmC, cледовательно §_AmCnA=§_CnAmC

Вычисление

Вычисление криволин инт 2-го рода может быть сведено к вычисл определен инт.

1. Параметрич представл кривой интегрир. Если кравая АВ задана параметрич ур-ями х=х(t), y=y(t), t принадл [α,β],где х(t),y(t)- непрерывн вместе со своими производн,причем точке А соотв t= α, точке В соотв t= β,то ʃ_АВР(x,y)dх= ʃ^β_αР(x(t),y(t))*x’(t)dt, аналогично ʃ_АВQ(x,y)dy= ʃ^β_αQ(x(t),y(t))*y’(t)dt, складывая их

ʃ_АВР(x,y)dх+ Q(x,y)dy=ʃ^β_α(Р(x(t),y(t))*x’(t)+ Q(x(t),y(t))*y’(t)) dt (2)

2. Явное представление кривой интегрирования Если кравая АВ задана ур-ем y=φ(х), где функц φ(х) и ее производн непрерывны на отрезке [a,b], то из форулы (2), приняв х за параметр имеем параметрич ур-е кривой АВ получим: ʃ_АВР(x,y)dх+ Q(x,y)dy=ʃ^b_a[Р(x,φ(x))+ Q(x,φ(x))* φ’(x)]dx