- •6. Определение двойного интеграла, геометрический и физический смысл, основные сво-ва 2-го интеграла.
- •7. Определение тройного интеграла, геометрический и физический смысл, основные сво-ва 3-го интеграла.
- •8. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах.
- •9. Приложения двойного и тройного интегралов.
- •10. Определение и свойства криволинейных интегралов I рода и их вычисл.
- •11. Определение и свойства криволинейных интегралов II рода и их вычисление.
- •12. Формула Остроградского-Грина.
- •13. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.
- •14. Приложения криволинейных интегралов.
- •15. Определение и свойства поверхностных интегралов I рода.
- •16. Определение и свойства поверхностных интегралов II рода.
- •17. Вычисление поверхностных интегралов I рода.
- •18. Вычисление поверхностных интегралов II рода.
- •19. Формула Остроградского-Гаусса.
- •20. Формула Стокса.
- •21. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости.
- •22. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •23. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •24. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
- •25. Понятие степенного ряда. Сходимость степенных рядов.
- •26. Разложение элементарных функций в степенной ряд.
- •27. Приближенное вычисление функций и определенных интегралов.
- •28. Тригонометрический ряд Фурье. Разложение в ряд периодических функций.
- •29. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
- •30. Представление непериодических функций рядом Фурье.
- •31. Представление функции интегралом Фурье.
- •32. Понятие поля. Скалярные и векторные поля.
- •33. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
- •34. Поток вектора через поверхность.
- •35. Дивергенция поля.
- •36. Формула Остроградского-Гаусса.
- •37. Циркуляция поля.
- •38. Ротор поля.
- •39. Формула Стокса.
- •40. Соленоидальные и потенциальные векторные поля.
- •41. Гармонические поля.
- •42. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
- •43. Основные элементарные функции комплексного переменного.
- •44. Определение дифференцируемости функции комплексного переменного.
- •45. Условия Коши-Римана.
- •46. Аналитические функции.
- •47. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
- •48. Определение и свойства интеграла от функции комплексного переменного.
- •49. Интегральная теорема Коши.
- •50. Формула Ньютона-Лейбница.
- •51. Интегральная формула Коши.
- •52. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
- •53. Нули аналитической функции.
- •54. Ряды Лорана. Теорема Лорана.
- •55. Классификация особых точек аналитической функции.
- •56. Понятие вычета.
- •57. Вычисление вычетов в полюсах аналитической функции.
- •58. Теорема Коши о вычетах.
- •59. Вычисление вычета в полюсе первого порядка.
- •60. Применение теории вычетов для вычисления интегралов.
- •61. Определение преобразования Лапласа.
- •62. Оригиналы и их изображения.
- •63. Существование изображения. Необходимый признак существования изображения.
- •64. Свойства преобразования Лапласа.
- •65. Определение обратного преобразования Лапласа.
- •66. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений.
- •1. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •2. Частные производные высших порядков.
- •3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных.
- •4. Определение экстремума функции двух переменных. Необходимые условия экстремума.
- •5. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
8. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах.
В декартовых
Пусть требуется вычислить 2-ой интеграл ʃ ʃD f(x,y)dxdy, где функц f(x,y)>=0 непрерывн в обл D.Предполож, что обл D представл собой криволин трапец огранич прямыми x=a и x=b и кривыми y=φ1(x) y=φ2(x), причем функц φ1(x) и φ2(x) непрерывн и таковы, что φ1(x)<= φ2(x).Такая обл наз правильн в направл оси Oу.Покажем что вычисл-е двойного интеграла сводится к последов вычисл двух определ интегралов. ʃ ʃD f(x,y)dxdy=ʃ badx ʃφ2(x)φ1(x) f(x,y)dy (1).Формула (1) представл собой вычисл 2-ого интеграла в декарт коорд. Правую часть наз двукратным интегралом от функц f(x,y) по обл D. Если же обл D огранич прямыми у=с и у=d и кривыми х=φ1(у) х=φ2(у), причем функц φ1(у) и φ2(у) непрерывн и таковы, что φ1(x)<= φ2(x).Такая обл наз правильн в направл оси Oх. И вычисл она ʃ ʃD f(x,y)dxdy=ʃ dcdу ʃφ2(y)φ1(y) f(x,y)dx.
В полярных
Для упрощ вычисл двойного интеграла часто примен метод подстановки.Определим преобразов независ переменных х и у как х=φ(u,v) и у=ץ(u,v)(2). Если функции (2) имею в некотор обл D* плоскости Оuv непрерывн частн производн 1-го порядка, то справедлива формула замен перемен в двойном интеграле: ʃʃDf(x,y)dxdy=ʃʃD*f(φ(u,v), ץ(u,v))dudv*|I(u,v)|dudv,где I(u,v)| - определитель Якоби. Рассмотр частн случ замены перемен,а именно замену декартов корд х и у полярными корд-ми r и φ.В кач-ве u,v возьмем полярно корд r и φ. Они связ с декарт корд формулами х=rcos(φ), y=sin(φ). Формула замены переиен примет вид ʃʃDf(x,y)dxdy= ʃʃD*f(rcos(φ),rsin(φ))*r*dr dφ, где D*- обл в полярн сис корд, соотв обл D в декарт сис. Для вычисл 2-го интегр в полярн корд примен то же правило свед его к двукратн интегралу.
ʃʃD*f(rcos(φ),rsin(φ))*r*dr dφ=ʃαBdφʃr2(φ)r1(φ) f(rcos(φ),rsin(φ))*r dr
9. Приложения двойного и тройного интегралов.
Двойной интеграл
Объем тела; объем цилиндр тела нах по формуле V= ʃ ʃD f(x,y)dxdy(это геометрич смысл 2-го интеграла), где f(x,y) – ур-е поверхн огранич тело сверху.
Площадь плоск фигуры S= ʃ ʃD dxdy или в полярн корд S= ʃ ʃDr drdφ
Масса плоской фигуры m= ʃ ʃD ץ(x,y)dxdy (это физич смысл 2-го интеграла), где ץ(x,y) – перемен плотность.
Статичесие моменты и коорд центра тяж плоск фигуры Mx= ʃ ʃDy ץ(x,y)dxdy и Mу= ʃ ʃDх ץ(x,y)dxdy, а коорд центра масс фигуры- по формулам xc=Sy/m и yc=Sx/m
Момент инерции плоской фигуры; момент инерц метер точки m относ оси l назыв произвед массы m на квадрат расстоян d точки до оси,т.е. Ml=md2. Моменты инерц плок фигуры относ осей Ох и Оу могут быть вычисл по формул Mx= ʃ ʃDy2 ץ(x,y)dxdy и Mу= ʃ ʃDх2 ץ(x,y)dxdy, момент инерц фигр относ нач корд M0=Mх+Mу.
Тройной интеграл
Объем тела V=ʃʃʃVdxdydz (в декарт коорд),V=ʃʃʃV rdrdφdz (в цилиндр корд), V=ʃʃʃV ρ2sinϴ dρdφdϴ (в сферич корд)
Масса тела m= ʃ ʃ ʃV ץ(x,y,z)dxdydz (ץ(x,y,z)- объемн плотн распредел масс в точке M(x,y,z).
Статические моменты Sxy=ʃʃʃV z ץ(x,y,z)dv, Syz=, Sxz=
Центр тяжести тела V ; xc=Syz/m, yc=, zc=
Момент инерц тела относ коорд плоскостей Ixy= ʃʃʃVz2 ץ(x,y,z)dv, Iyz=, Ixz.