65. Определение обратного преобразования Лапласа.

Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имеющ вид:

F(t)=1/(2*pi*i)*ʃ ^ץ+i∞_ץ-i∞F(p)*e^ptdt, где интеграл берется вдоль любой прямой Rep=ץ>S₀

66. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений.

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэфф y⁽ⁿ⁾+a₁y⁽ⁿ⁺¹⁾ +…+a_ny=f(t) удовлетвор нач усл y(0)=c₀, y’(0)=c₁,…, y^(n-1)(0)=c_n-1 (1), где с0,с1,с2,… - заданные числа. Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматр производными и функция f(t) явл оригиналами. Пусть y(t).||.Y(p)=Y и f(t) .||.F(p)=F. Затем пользуясь сво-вами дифф оригинала и линейности, перейдем в ур-ии (1) от оригиналов к изображениям:

(pⁿY- p^n-1c₀- p^n-2c₁-…-c_n-1)+a₁(p^n-1Y- p^n-2c₀-…-c_n-2)+…+ a_n-1(pY-c₀)+a_nY=F, полу ур=е называют операторным. Разрешим его относительно У и из получ ур-я находим:

Y(p)=(F(p)+R_n-1(p))/Q_n(p) – полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения.

1. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.

Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории фнп наблюдаются уже на 2-х переменных. Эти факты обобщаются на случай большого числа переменных.

Предел: пусть функция z=f(x,y) определена в некотор окрестности точки М₀(х₀,у₀) кроме быть может самой точки.Число А называется пределом функции z=f(x,y) при х→х₀ , у→у₀, если для любого е>0 существует σ>0 такое что для всех х не равн х₀ , у не равн у₀ и удовлетвор неравенству ((х-х₀)+ (у-у₀))^1/2<σ выполняется неравенство |f(x,y)-A|<e. Записывают А=lim _{x→x0,y→y0}f(x,y) или A=lim _M→M0f(M).

Непрерывность: функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке М₀(х₀,у₀) если она:

1. Определ в этой точке и некотор ее окрестности

2. Имеет предел lim_M→M0f(M)

3. Этот предел равен значению функции z в точке М₀, т.е. lim_M→M0f(M)=f(M₀)

Функция непрерывна в каждой точке некотор области, нпзывается непрерывной в этой области. Точки в которых непрерывность нарушается, называются точками разрыва.

Частные производные функции нескольких переменных: частные производные df(x,y)/dx, df(x,y)/dy назыв част производными первого порядка. Их можно рассматривать как функц от (х,у). эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определ и обозначаются : d/dx(dz/dx)=d²z/dx²=z’’_xx=f ’’_xx(x,y) , d/dx(dz/dy)=d²z/dydx=z’’_xy=f ’’_xy(x,y) и тд. Аналогично определ частные производные 3-его и 4-ого и т.д. порядков.

2. Частные производные высших порядков.

Частные производные функции нескольких переменных: частные производные df(x,y)/dx, df(x,y)/dy назыв част производными первого порядка. Их можно рассматривать как функц от (х,у). эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определ и обозначаются : d/dx(dz/dx)=d²z/dx²=z’’_xx=f ’’_xx(x,y) , d/dx(dz/dy)=d²z/dydx=z’’_xy=f ’’_xy(x,y) и тд. Аналогично определ частные производные 3-его и 4-ого и т.д. порядков. Частная производная второго и более порядка, взятая по различн переменным называется смешанной частной производной.

Теорема(Шварц):Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка отличаются лишь порядком дифференцир, равны между собой. В частности для z=f(x,y) имеем: d²z/dxdy= d²z/dydx.