- •6. Определение двойного интеграла, геометрический и физический смысл, основные сво-ва 2-го интеграла.
- •7. Определение тройного интеграла, геометрический и физический смысл, основные сво-ва 3-го интеграла.
- •8. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах.
- •9. Приложения двойного и тройного интегралов.
- •10. Определение и свойства криволинейных интегралов I рода и их вычисл.
- •11. Определение и свойства криволинейных интегралов II рода и их вычисление.
- •12. Формула Остроградского-Грина.
- •13. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.
- •14. Приложения криволинейных интегралов.
- •15. Определение и свойства поверхностных интегралов I рода.
- •16. Определение и свойства поверхностных интегралов II рода.
- •17. Вычисление поверхностных интегралов I рода.
- •18. Вычисление поверхностных интегралов II рода.
- •19. Формула Остроградского-Гаусса.
- •20. Формула Стокса.
- •21. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости.
- •22. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •23. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •24. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
- •25. Понятие степенного ряда. Сходимость степенных рядов.
- •26. Разложение элементарных функций в степенной ряд.
- •27. Приближенное вычисление функций и определенных интегралов.
- •28. Тригонометрический ряд Фурье. Разложение в ряд периодических функций.
- •29. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
- •30. Представление непериодических функций рядом Фурье.
- •31. Представление функции интегралом Фурье.
- •32. Понятие поля. Скалярные и векторные поля.
- •33. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
- •34. Поток вектора через поверхность.
- •35. Дивергенция поля.
- •36. Формула Остроградского-Гаусса.
- •37. Циркуляция поля.
- •38. Ротор поля.
- •39. Формула Стокса.
- •40. Соленоидальные и потенциальные векторные поля.
- •41. Гармонические поля.
- •42. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
- •43. Основные элементарные функции комплексного переменного.
- •44. Определение дифференцируемости функции комплексного переменного.
- •45. Условия Коши-Римана.
- •46. Аналитические функции.
- •47. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
- •48. Определение и свойства интеграла от функции комплексного переменного.
- •49. Интегральная теорема Коши.
- •50. Формула Ньютона-Лейбница.
- •51. Интегральная формула Коши.
- •52. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
- •53. Нули аналитической функции.
- •54. Ряды Лорана. Теорема Лорана.
- •55. Классификация особых точек аналитической функции.
- •56. Понятие вычета.
- •57. Вычисление вычетов в полюсах аналитической функции.
- •58. Теорема Коши о вычетах.
- •59. Вычисление вычета в полюсе первого порядка.
- •60. Применение теории вычетов для вычисления интегралов.
- •61. Определение преобразования Лапласа.
- •62. Оригиналы и их изображения.
- •63. Существование изображения. Необходимый признак существования изображения.
- •64. Свойства преобразования Лапласа.
- •65. Определение обратного преобразования Лапласа.
- •66. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений.
- •1. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •2. Частные производные высших порядков.
- •3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных.
- •4. Определение экстремума функции двух переменных. Необходимые условия экстремума.
- •5. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
61. Определение преобразования Лапласа.
Основным первоночальн понятиями опрационного исчисления явл понятия функции-оригинала и функции-изображения. Пусть f(t) – действительн функц действит переменного t. Функция f(t) назыв оригиналом, если она удовлетвор условиям:
F(t) тождественно равно 0 при t<0
F(t) – кусочно-непрерывная при t>0, т.е. она непрерывна или имеет точки разрыва первого рода, причем на каждом конечн промежутке оси t таких точек лишь конечное число.
Существуют такие числа М>0 ,s0>=0 что для всех t выполняется нерав-во |f(t)|<=M*eS0t, т.е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некотор показат функции. Число s0 наз показателем роста f(t).
Первое усл означ, что процесс начинается с некотор момента времени t, удобнее считать, что в момент времени t=0. Изображение оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного p=s+iσ, определяемая интегралом: F(p)=ʃ ∞0f(t)*e – pt*dt. Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа.
62. Оригиналы и их изображения.
Основным первоночальн понятиями опрационного исчисления явл понятия функции-оригинала и функции-изображения. Пусть f(t) – действительн функц действит переменного t. Функция f(t) назыв оригиналом, если она удовлетвор условиям:
F(t) тождественно равно 0 при t<0
F(t) – кусочно-непрерывная при t>0, т.е. она непрерывна или имеет точки разрыва первого рода, причем на каждом конечн промежутке оси t таких точек лишь конечное число.
Существуют такие числа М>0 ,s0>=0 что для всех t выполняется нерав-во |f(t)|<=M*eS0t, т.е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некотор показат функции. Число s0 наз показателем роста f(t).
Первое усл означ, что процесс начинается с некотор момента времени t, удобнее считать, что в момент времени t=0. Изображение оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного p=s+iσ, определяемая интегралом: F(p)=ʃ ∞0f(t)*e – pt*dt. Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа.
63. Существование изображения. Необходимый признак существования изображения.
. Изображение оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного p=s+iσ, определяемая интегралом: F(p)=ʃ ∞0f(t)*e – pt*dt. Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа.
Теорема(существование изображения): Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) существует в полуплоскости Rep=s>s0, где s0- показатель роста функции f(t), причем функция F(p) явл аналитической в этой полуплоскости (s>s0).
Cледствие(необходимый признак сущ изображения): Если функция F(p) явл изображением функции f(t) , то limp→∞F(p)=0.
64. Свойства преобразования Лапласа.
Cво-ва преобразования лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.
Линейность с1*f1(t)+c2f2(t) .|| . c1*F1(p)+c2*F2(p)
(формулы)
Подобие
Смещение
Запаздывание