52. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.

Применяя интегральную формулу Коши f(z₀)=1/(2*pi*i)§_Lf(z)/(z-z₀)dz можно доказать следующую теорему-следствие.Теорема: В окрестности каждой точки z₀, где существует производная f ‘ (z₀), функция f(z) может быть представл сходящимся интегралом: f(z)= f (z₀)+ f ‘ (z₀)(z-z₀)+( f ‘’ (z₀)/2!)*(z-z₀)²+…+(f ⁽ⁿ⁾ (z₀)/n!)*(z-z₀)ⁿ+…(1)

Ряд (1) называется рядом Тейлора функции f(z) в точке х₀.Ряд тейлора дифф в точке х₀ функции сущ и сходится к самой функции. Ряд же тейлора для действит функции f(x) может сходиться к другой функции или быть рясходящимся.

Т: Всякая аналитическая в круге |z-z₀|<R функция f(x) модет быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд f(x)=∑^∞_n=0c_n(z-z₀)ⁿ, коэфф которого определ формулами c_n=f ⁽ⁿ⁾(z₀)/n!=1/2 pi i §lr(f(Ѯ)/( Ѯ-z₀)ⁿ⁺¹)d Ѯ, где l_r – произвольн окруж с центром в точке z₀, лежащ внутри круга.

53. Нули аналитической функции.

Всякая функция f(z), аналитическая в окрестности точки z₀ разлагается в этой окрест в степенной ряд f(x)=∑^∞_n=0c_n(z-z₀)ⁿ, коэфф которого вычисляются по формулам c_n=f ⁽ⁿ⁾(z₀)/n!=1/2 pi i §_lr(f(Ѯ)/( Ѯ-z₀)ⁿ⁺¹)d Ѯ, где l_r – произвольн окруж с центром в точке z₀, лежащ внутри круга. Точка z₀ называется нулем функции f(z), если f(z₀)=0. В этом случае разложение функции f(z) в окрестн точки z₀ в степ ряд не содержит нулевого члена, т.к. с₀= f(z₀). Если не только с₀=0, но и с₁= с₂=…= с_m+1(z-z₀)^m+1+…+c_n(z-z₀)ⁿ+…(1), а точка z₀ называется нулем кратности m, если м=1 то z₀ наз простым нулем.

54. Ряды Лорана. Теорема Лорана.

Т: Всякая аналитическая в кольце r<|z-z₀|<R (0<=r<R<=∞) функция f(z) может быть разложена в этом кольце в ряд f(z)=∑^∞_n=-∞ c_n(z-z₀)ⁿ (1), коэфф которого определяются формулой c_n=1/2 pi i §_L (f(Ѯ)/( Ѯ-z₀)ⁿ⁺¹)d Ѯ, где L – произвольн окруж с центром в точке z₀, лежащ внутри круга. Ряд (1) наз рядом Лорана для функции f(z) в расматр кольце.

f(z)=∑^{+ ∞} _n=-∞ c_n(z-z₀)ⁿ=∑^∞_n=0 c_n(z-z₀)ⁿ+∑^∞_n=1 (c _{– n})/(z-z₀)ⁿ, ряд лорана состоит из двух частей - ∑^∞_n=0 c_n(z-z₀)ⁿ – правильная часть, ∑^∞_n=1 (c _{– n})/(z-z₀)ⁿ- главная часть.

55. Классификация особых точек аналитической функции.

Особой точкой функции f(z) называется точка, в котор функц не явл аналитической. Особая точка z=z₀ наз изолированной, если в некотор окрестн ее функции f(z) не имеет других особых точек. Если z₀ изолир точка функции f(z), то существует такое число R>0, что в колце 0<|z-z₀|<R функция f(z) будет аналитич, и следовательно, разлагаться в ряд лорана f(z)= ∑^{+ ∞} _n=-∞ c_n(z-z₀)ⁿ=∑^∞_n=0 c_n(z-z₀)ⁿ+∑^∞_n=1 (c _{– n})/(z-z₀)ⁿ, при этом возможны случаи:

1. Ряд лорана не содерж главной части, т.е. в ряде нет члеонв с отриц показ. В этом случае точка z₀ назыв устранимой особой точкой(limf(z) сущ и конечен)

2. Разлож-е Лорана содерж в своей главн части конечное число членов, т.е. в ряде есть конечное число членов с отриц показателями, в этом случае точка z₀ наз полюсом функции(limf(z) сущ и бесконечен)

3. Разлож-е Лорана содерж в своей главн части бесконеч множ-во членов, т.е. в ряде есть бесконечно много членов с отриц показателями, в этом случ точка z₀ наз существенно особой точкой функции(limf(z) не сущ).

Изучение функции f(z) в окрестн точки z=∞ можно свести путем подстановки z=1/w к изучению функции f(1/w)в окрестн точки z=0.