- •6. Определение двойного интеграла, геометрический и физический смысл, основные сво-ва 2-го интеграла.
- •7. Определение тройного интеграла, геометрический и физический смысл, основные сво-ва 3-го интеграла.
- •8. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах.
- •9. Приложения двойного и тройного интегралов.
- •10. Определение и свойства криволинейных интегралов I рода и их вычисл.
- •11. Определение и свойства криволинейных интегралов II рода и их вычисление.
- •12. Формула Остроградского-Грина.
- •13. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.
- •14. Приложения криволинейных интегралов.
- •15. Определение и свойства поверхностных интегралов I рода.
- •16. Определение и свойства поверхностных интегралов II рода.
- •17. Вычисление поверхностных интегралов I рода.
- •18. Вычисление поверхностных интегралов II рода.
- •19. Формула Остроградского-Гаусса.
- •20. Формула Стокса.
- •21. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости.
- •22. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •23. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •24. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
- •25. Понятие степенного ряда. Сходимость степенных рядов.
- •26. Разложение элементарных функций в степенной ряд.
- •27. Приближенное вычисление функций и определенных интегралов.
- •28. Тригонометрический ряд Фурье. Разложение в ряд периодических функций.
- •29. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
- •30. Представление непериодических функций рядом Фурье.
- •31. Представление функции интегралом Фурье.
- •32. Понятие поля. Скалярные и векторные поля.
- •33. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
- •34. Поток вектора через поверхность.
- •35. Дивергенция поля.
- •36. Формула Остроградского-Гаусса.
- •37. Циркуляция поля.
- •38. Ротор поля.
- •39. Формула Стокса.
- •40. Соленоидальные и потенциальные векторные поля.
- •41. Гармонические поля.
- •42. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
- •43. Основные элементарные функции комплексного переменного.
- •44. Определение дифференцируемости функции комплексного переменного.
- •45. Условия Коши-Римана.
- •46. Аналитические функции.
- •47. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
- •48. Определение и свойства интеграла от функции комплексного переменного.
- •49. Интегральная теорема Коши.
- •50. Формула Ньютона-Лейбница.
- •51. Интегральная формула Коши.
- •52. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
- •53. Нули аналитической функции.
- •54. Ряды Лорана. Теорема Лорана.
- •55. Классификация особых точек аналитической функции.
- •56. Понятие вычета.
- •57. Вычисление вычетов в полюсах аналитической функции.
- •58. Теорема Коши о вычетах.
- •59. Вычисление вычета в полюсе первого порядка.
- •60. Применение теории вычетов для вычисления интегралов.
- •61. Определение преобразования Лапласа.
- •62. Оригиналы и их изображения.
- •63. Существование изображения. Необходимый признак существования изображения.
- •64. Свойства преобразования Лапласа.
- •65. Определение обратного преобразования Лапласа.
- •66. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений.
- •1. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •2. Частные производные высших порядков.
- •3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных.
- •4. Определение экстремума функции двух переменных. Необходимые условия экстремума.
- •5. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
48. Определение и свойства интеграла от функции комплексного переменного.
Пусть в кажд точке некотор гладк кривой L с началом в точке z0 и концом в точке Z определена непрерывн функция f(z). Разобъем кривую на n частей в направлении от z0 к z точками z1, z2, z3,…, zn-1. В каждой элементарн дуге zk-1zk выберем произвольн точку Ск и составим интегральн сумму: ∑nk-1f(Сk)Δzk, где Δzk= zk- zk-1. Предел такой интегральн суммы при стремлении к 0 длины наибольшей из элементарн дуг, если он существует, называется интегралом от функц f(z) по кривой L и обознач символом ʃLf(z)dz, т.о. : ʃLf(z)dz = limmax |Δzk|→0∑nk-1f(Сk)Δzk. Так же еще одна запись:
ʃLf(z)dz= ʃLudx-vdy+i ʃLvdx+udy (1) – эта запись показ, что вычисл интеграла от функц комплексн перемен сводится к вычисл криволин интеграла от действит функц действит переменных. Формулу (1) можно запис в удобном виде ʃLf(z)dz=ʃL(u+iv)(dx+idy) (2). Если x=x(t), y=y(t), где t1<=t<=t2 - параметрич ур-е кривой L, то z=z(t)=x(t)+iy(t) назыв комплексным параметрич ур-ем кривой L: ʃLf(z)dz=ʃ t2t1f(z(t))*z ‘ (t)dt.
Cво-ва
ʃLdz=z-z0
ʃLf1(z)+(-)f2(z))dz= ʃLf1(z)dz+(-) ʃLf2(z)dz
ʃL af(z)dz= aʃLf(z)dz
ʃLf(z)dz= -ʃ -L f(z)dz
ʃLf(z)dz= ʃL1f(z)dz+ ʃL2f(z)dz
если |f(z)|<=M во всех т кривой L, то |ʃLf(z)dz|<=Ml, l –длин кривой L
49. Интегральная теорема Коши.
Теорема Коши: Если функц f(z) аналитична в односвазн обл D, то интеграл от этой функц по любому замкнут контуру L, лежащ в обл D, равен 0,т.е. §Lf(z)dz=0. Док-во: докажем т, предполаг непрерывность производн f ‘ (z). По формуле §Lf(z)dz= §Ludx-vdy+i §Lvdx+udy. В силу аналитичности f(z)=u+iv и непрерывн f ‘ (z) в односвязн обл D , функции u=u(x,y), v=v(x,y) непрерывны и дифф в этой обл и удов условиям коши-римана: du/dy=d(-v)/dx и dv/dy=du/dx. Эти усл означ рав-во нулю интегралов §Ludx-vdy и §Lvdx+udy, следовательно §Lf(z)dz=0. Теорема коши допускает распределение на случай многосвязн обл.
50. Формула Ньютона-Лейбница.
Функция F(z) наз первообразной, для функции f(z) в обл D если F’(z)=f(z).Можно показать что если F(z) есть некотор первообразн функция, то совокупность всех первообразных f(z) определ формулой F(z)+C
Пусть функция F(x)= ʃ zz0f(z)dz есть первообразн функц для f(z). Следовательно ʃ zz0f(z)dz=F(z)+C. Положим здесь z=z0, (z0 начальн точка)получим 0=F(z0)+C(контур замкнется, интеграл равен 0) Отсюда C= - F(z0), а значит ʃ zz0f(z)dz=F(z) - F(z0) – полученная формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
51. Интегральная формула Коши.
Теорема: Пусть функция f(z) аналитична в замкнутой односвязной обл D(штрих) и L-граница обл D. Тогда имеет место формула f(z0)=1/(2*pi*i)§Lf(z)/(z-z0)dz (1), где z0 принадл D – любая точка внутри обл D, а интегрир по контуру L производится в полож направл(т.е. против часовой стрелки). Интеграл находящ в правой части рав-ва (1) называется интегралом коши, а сама эта формула называется интегральной формулой коши. Эта формула позволяет находить значения аналитической функции f(z) в любой точке х0, лежащей внутри обл D через ее знач на границе этой обл.