44. Определение дифференцируемости функции комплексного переменного.

Пусть однозначн функция w=f(z) определена в некотор окресн точки z, включая и саму точку. Тогда предел lim_Δz→0Δw/Δz= lim_Δz→0(f(z+Δz)-f(z))/Δz=f ‘ (z) (1), если он сущ, называется производной функц f(z) в точке z, а функц f(z) наз диффиринцируемой в точке z. Подчеркнем, что в рав-ве (1) Δz дюым образом стремится к 0, тоесть точка z+ Δz может приближ к точке z по любому из бесконечн множ-ва направлений. При каких условиях функция w=f(z) будет дифф в точке решает условие Эйлера-даламбера(Коши-Римана).

45. Условия Коши-Римана.

Пусть однозначн функция w=f(z) определена в некотор окресн точки z, включая и саму точку. Тогда предел lim_Δz→0Δw/Δz= lim_Δz→0(f(z+Δz)-f(z))/Δz=f ‘ (z), если он сущ, называется производной функц f(z) в точке z, а функц f(z) наз диффиринцируемой в точке z. При каких условиях функция w=f(z) будет дифф в точке решает условие Эйлера-даламбера(Коши-Римана). Т: Если функция w=u(x,y)+iv(x,y) определена в некотор окресн точки z=x+iy, причем в этой точке действительн функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы, то для диффир функции w=f(z) в точке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполн рав-ва: du/dx=dv/dy; du/dy=dv/dx (1). Рав-ва (1) называют условием коши-римана. Правила фифф функций справедливые для функций действиит переменного справедливы и для функций комплексного переменного.

46. Аналитические функции.

Фундаментальным понятием в теории функции комплексного переменного явл понятие аналитической функции. Однозначная функция f(z) называется аналитической в точке z, если она диффиринцируема(выполняются условия Коши-римана) в некотор окресности этой точки. (Условия коши-римана: : du/dx=dv/dy; du/dy=dv/dx). Функция f(z) наз аналитической в обл D, если она дифф в каждой точке z принадл D. Точки плоскости, в котор однознач функция f(z) аналитична, называются правильными точками f(z).Точки, в котор функция не явл аналитич, наз особыми точками этой функции.

47. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Пусть функция w=f(z) аналитична в точке z₀ и f ‘ (z₀) не равно 0.Выясним геометрич смысл аргумента и модуля производной. Пусть произольн точка z=z₀+Δz из окресн точки z₀ перемещ к точке z₀ по некотор непрерын кривой l.Тогда в плоск w соотв точка w=w₀+Δw будет перемещ к точке w₀ по некотор кривой L явл отображ кривой l в плоскости w. По определ производной f ‘ (x₀)=lim_Δz→0Δw/Δz. Отсюда следует, что |f ‘ (x₀)|=| lim_Δz→0Δw/Δz | = lim_Δz→0|Δw/Δz|, |f ‘ (x₀)| - есть предел отношения бесконечномал расстоян между отображ-ми и точками w₀ и w₀+Δw к бесконечно мал расст между точками z₀ и z₀+Δz . Этот предел не завис от выбор кривой l, следовательно этот предел постоянен и одинаков во всех направлекниях. Отсюда вытекает геометрич смысл модуля производной: величина |f ‘ (x₀)| определ коэффициент растяжения в точке z₀ при отображ w=f(z). Величину |f ‘ (x₀)| называют коэфф растяжения если |f ‘ (x₀)|>1 , или коэфф сжатия если |f ‘ (x₀)|<1. Для аргумента производной в точке z₀ имеем: argf ‘ (x₀)=lim_Δz→0argΔw/Δz=lim _Δz→0(argΔw-argΔz)=α2- α1, где α1 и α2 – углы котор образ касательн к кривым l и L соотв-но в точках z₀ и w₀ с полож направл действит осей. Отсюда α2= α1+ argf ‘ (x₀). Это означ, что argf ‘ (z₀)- это угол, на котор нужно певернуть касательн к кривой l, для того, чтобы получилось напарв к касательной L. argf ‘ (z₀) – это угол между отображ и начальн направлениями касательных к кривым l, L . в этом состоит геометрич смысл аргумента.