40. Соленоидальные и потенциальные векторные поля.

Векторное поле называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна 0, т.е. divӑ=0.Примерами соленоидальных полей явл: поле линейных скоростей вращающ твердого тела, магнитное поле.

Некотор сво-ва соленоидального поля: 1)В соленои поле ӑ поток вектора через любую замкнут пов равен 0.т.о соленодальн поле не имеет источников и стоков.2)Солеидальн поле явл полем ротора некоторого векторного поля, т.е. div ӑ=0 ,то сущ такое поле b’, что ӑ=rotb’.3)В соленодальном поле ӑ поток вектора через поперечн сечение векторной трубки сохран постоянное значение.Потенциальное поле:векторное поле ӑ наз потенциальным, если во всех точках поля ротор равен 0,т.е. rot ӑ=0.Примером потенциального поля явл электрич поле напряженности точечного заряда.Свова потенц поля:1)Циркуляц потенц поля ӑ по любому замкнут контуру в этом поле равна 0.2)в потенц поле ӑ криволин интеграл ʃ_LPdx +Qdy+Rdz вдоль любой кривой L с началом в точке М₁ и концом в М₂не завис от формы кривой.3)Потенц поле явл полем градиента некотор скалярн функции U(x,y,z),т.е. rotӑ=0, то сущ функция U(x,y,z) такая, что ӑ=gradU.

41. Гармонические поля.

Векторное поле ӑ называется гармоническим, если оно одновременно потенциальным и соленоидальным, т.е. если rot ӑ=0 и div ӑ=0. Примером гармонич поля явл поле линейных скоростей стационарн безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.т.к. поле ӑ потенциальн и соленоидальн одновременно, то можно записать: div ӑ=divgradU=0, или что тоже самое, ΔU=d²U/dx²+d²U/dy²+d²U/dx²=0, т.е потенциальн функц U гармонич поля ӑ явл реш дифф ур-я Лапласа. Такая функция называется Гармонической.

42. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.

Если кажд числу z принадл D по некотор правилу поставлено в соотв-е определ число w принадл Е, то говорят, что на множ-е определена однозначн функция комплексн переменного w=f(z). Пусть функц w=f(z) определ в некотор окресн точкт z₀, исключая, может быть саму точку. Под σ-окресн точки z₀ понимаю внутренность круга радиуса σ с центром в точке z₀. Число w₀ называют пределом функц w=f(z) в точке z₀ если для любого полож е найдется такое полож число σ, что для всех z неравн z₀ удовлетворяющ неравенству |z-z₀|< σ выполняется нерав-во |f(z)-w₀|<e.

Пусть функц w=f(z) определен в точке z=z₀ и в некотор ее окресн.Функц w=f(z) назыв непрерывн в точке z₀, если lim_z→z0 f(z)= f(z₀). Определ непрерывн можно сформулир и так : функц f(x) нерерывн в точке z₀ , если бесконечнобал приращ аргумента соотв бесконечномал приращ функц: lim_Δz→0 f(z)=0.

43. Основные элементарные функции комплексного переменного.

Определим основные элемент функции комплексн переменного z=x+yi.

Показательная функция w=e^Z определ формулой w=e^Z=e^X(cosy+isiny) (1). Положив в рав-ве (1) х=0, у=φ , получим класич формулу Эйлера e^iφ= cos φ +isin φ. С ее помощью модно представ тригоном формулу комплексн числа z=r*e^iφ, называемой показ формой комплексн числа. Логарифмическая функция Эта функц определ как функция, обратн показательной: число w раз логарифмом числа z не равн 0, если e^w=z , обознач w=Lnz=u+iv=lnr+i(φ+2*k*pi)=ln|z|+i(argz+2*k*pi) (2), их формулы (2) следует, что логарифмич функц w=Lnz обл известн сво-вами логарифма. Степенная функция w=zⁿ 1) если функц однозначн: w=zⁿ =rⁿ(cosnφ+isinnφ).2) если функц многозначная и n=1/q; w=z^1/q=(z)^1/q=( |z| )^1/q (cos((argz+2*pi*k)/q)+ isin((argz+2*pi*k)/q)). 3) если функц многозначн и n=p/q; w=z^p/q=(z^1/q)^p = ( |z| ^p)^1/q.4)w=z^a=e^a*Lnz. Тригонометрические функции sinz=(e^iz- e ^-iz)/2i; cosz=(e^iz- e ^-iz)/2, tgz=sinz/cosz. Гиперболические функции shz=(e^z-e^-z)/2; chz=(e^z+e^-z)/2; thz=shz/chz. Обратные тригонометрические и гиперболические функции w=Arcsinz=-iLn(iz+(1+z²)^1/2), Arccosz=- iLn(z+( z² +1)^1/2); Arctgz=(-i/2)Ln(i-z)/(i+z); Arcctgz=(i/2)Ln(i-z)/(i+z); Arshz=Ln(z+(z²+1)^1/2); Archz=Ln(z+(z²-1)^1/2); Arthz=1/2*Ln(1+z)/(1-z); Arcthz=1/2*Ln(z+1)/(z-1).