- •6. Определение двойного интеграла, геометрический и физический смысл, основные сво-ва 2-го интеграла.
- •7. Определение тройного интеграла, геометрический и физический смысл, основные сво-ва 3-го интеграла.
- •8. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах.
- •9. Приложения двойного и тройного интегралов.
- •10. Определение и свойства криволинейных интегралов I рода и их вычисл.
- •11. Определение и свойства криволинейных интегралов II рода и их вычисление.
- •12. Формула Остроградского-Грина.
- •13. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.
- •14. Приложения криволинейных интегралов.
- •15. Определение и свойства поверхностных интегралов I рода.
- •16. Определение и свойства поверхностных интегралов II рода.
- •17. Вычисление поверхностных интегралов I рода.
- •18. Вычисление поверхностных интегралов II рода.
- •19. Формула Остроградского-Гаусса.
- •20. Формула Стокса.
- •21. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости.
- •22. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •23. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •24. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
- •25. Понятие степенного ряда. Сходимость степенных рядов.
- •26. Разложение элементарных функций в степенной ряд.
- •27. Приближенное вычисление функций и определенных интегралов.
- •28. Тригонометрический ряд Фурье. Разложение в ряд периодических функций.
- •29. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
- •30. Представление непериодических функций рядом Фурье.
- •31. Представление функции интегралом Фурье.
- •32. Понятие поля. Скалярные и векторные поля.
- •33. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
- •34. Поток вектора через поверхность.
- •35. Дивергенция поля.
- •36. Формула Остроградского-Гаусса.
- •37. Циркуляция поля.
- •38. Ротор поля.
- •39. Формула Стокса.
- •40. Соленоидальные и потенциальные векторные поля.
- •41. Гармонические поля.
- •42. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
- •43. Основные элементарные функции комплексного переменного.
- •44. Определение дифференцируемости функции комплексного переменного.
- •45. Условия Коши-Римана.
- •46. Аналитические функции.
- •47. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
- •48. Определение и свойства интеграла от функции комплексного переменного.
- •49. Интегральная теорема Коши.
- •50. Формула Ньютона-Лейбница.
- •51. Интегральная формула Коши.
- •52. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
- •53. Нули аналитической функции.
- •54. Ряды Лорана. Теорема Лорана.
- •55. Классификация особых точек аналитической функции.
- •56. Понятие вычета.
- •57. Вычисление вычетов в полюсах аналитической функции.
- •58. Теорема Коши о вычетах.
- •59. Вычисление вычета в полюсе первого порядка.
- •60. Применение теории вычетов для вычисления интегралов.
- •61. Определение преобразования Лапласа.
- •62. Оригиналы и их изображения.
- •63. Существование изображения. Необходимый признак существования изображения.
- •64. Свойства преобразования Лапласа.
- •65. Определение обратного преобразования Лапласа.
- •66. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений.
- •1. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •2. Частные производные высших порядков.
- •3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных.
- •4. Определение экстремума функции двух переменных. Необходимые условия экстремума.
- •5. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
34. Поток вектора через поверхность.
Пусть векторное поле образовано вектором. Потоком вектора ӑ через пов-ость S наз интеграл по пов-сти от скалярн произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т.е. K=ʃʃS ӑ *nds (1), ӑ*n=a, следовательно K=ʃʃS ads, K= ʃʃS(Pcosα+Qcosβ+Rcosץ)ds, использую связь по винт-ов 1-го и 2-го рода поток вектора можно записать так: K=ʃʃSPdydz+Qdxdz+Rdxdy.
Когда поверхность замкнута и огранич некотор объем V, то K=ʃoʃSӑ*n(вектор)ds , вэтом случае за направл вектора н обычно берут направл внешнй нормали.
35. Дивергенция поля.
Важной характеристикой векторного поля ӑ=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k явл так назыв дивергенция, характеризующ распределение и интенсивность источников и стоков поля.Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля ӑ(М)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k в точке М наз скаляр вида dP/dx+dQ/dy+dR/dz и обознач символом divӑ(M), т.е. divӑ(M)= dP/dx+dQ/dy+dR/dz
Сво-ва дивергенции:
Если ӑ- постоян вектор, то divӑ=0
Div(с*ӑ)=с* divӑ
Div(ӑ+b--) = divӑ+ divb—
Если U – скалярн функция, ӑ – вектор, то div(U*ӑ)= U*divӑ+ ӑgradU.
36. Формула Остроградского-Гаусса.
Используя понятия потока и дивергенции векторн поля, запишем формулу Остроградского-Гаусса =ʃoʃS Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=ʃʃʃV (dP/dx+dQ/dy+dR/dz)dv в так назыв векторной форме. Рассматривая область V огранич замкнут пов S в векторн поле, можно утверждать, что левая часть формулы есть поток вектора ӑ через пов S; подынтегральн функция правой части формулы есть дивергенц вектора ӑ.следовательно формулу можно записать в виде ʃoʃSands= ʃʃʃVdiv ӑ*dv (в котор она чаще всего и встреч). Формула Остроградского-гаусса означает, что поток векторн поля через замкнут пов S равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V огранич данной поверхностью.
37. Циркуляция поля.
Криволинейный интеграл по замкнут контуру L от скалярного произведения вектора ӑ на вектор d’r’, касательный к контуру L , называется циркуляцией вектора ӑ вдоль L, т.е. С=§Lӑ*d’r’, другая запись: C=§LPdx+Qdy+Rdz(1) Циркуляц, записанная в виде (1) имеет простой физич смысл: если кривая L располож в силовом поле, то циркуляция – это работа силы ӑ(М) поля при перемещении мат точки вдоль L.
C=§Lat*dl, где at = проекц вектора ӑ на касетельную t, произведен в направл обхода кривой L.
38. Ротор поля.
Ротором(или вихрем) векторного поля ӑ=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k называется вектор, обозначаемый rot ӑ(M) и определ формулой: rot ӑ(M)=(dR/dy-dQ/dz)i+(dP/dz-dR/dz)j+(dQ/dx-dP/dy)k/
Отметим некотор сво-ва ротора:
Если ӑ- постоян вектор, то rot ӑ=0
rot (с*ӑ)= с*rot ӑ
rot (ӑ+b’)= rot ӑ+rotb’
если U – скалярн функция, а ӑ(M)-векторная, то rot (U*ӑ)=U rot ӑ+gradU* ӑ.
39. Формула Стокса.
Используя понятие ротора и циркуляции векторного поля, запишем известн в матане формулу Стока: §LPdx+Qdy+Rdz =ʃʃS(dQ/dx-dP/dy)dxdy+(dR/dy-dQ/dz)dydz+(dP/dz-dR/dx)dxdz. Левая часть формулы представл собой циркуляцию вектора ӑ по контуру L,т.е. §LPdx+Qdy+Rdz= C=§Lat*dl. Интеграл в прав часть предсавл собой поток вектора rotӑ через пов S, огранич контуром L.,т.е. ʃʃS(dQ/dx-dP/dy)dxdy+(dR/dy-dQ/dz)dydz+(dP/dz-dR/dx)dxdz= ʃʃSrotnӑds. Следовательно формулу стока можно записать в виде =§Lat*dl= ʃʃSrotnӑds. Такое представление формулы стока называют ее векторной формой.эта формула показывает что циркуляция вектора ӑ вдоль замкнут контура L равна потоку ротора этого вектора ӑ через пов S, лежащ в поле вектора ӑ и огранич контуром L.