6. Определение двойного интеграла, геометрический и физический смысл, основные сво-ва 2-го интеграла.

Обобщением определ интеграла на случай функции двух переменных явл так назыв двойной интеграл. f(x1,y1)ΔS1+ f(x2,y2)ΔS2+…+ f(xn,yn)ΔSn=∑ⁿ_i=1 f(xi,yi)ΔSi (1)– эта сумма называется интегральной суммой функции а f(x,y) в обл D. Рассмотр предел интеграл суммы (1),когда n стремится к ∞ т.о,что maxdi(элементарн область)→0.Если этот предел сущ и не завист ни от способа разбиен области D на части, ни от выбора точек в них, то он наз двойным интегралом от функц f(x,y) по обл D и обознач ʃ ʃ_D f(x,y)dxdy. Т.о, двойной интеграл определ рав-вом

ʃ ʃ_D f(x,y)dxdy=lim_{n→∞(maxdi→0)} f(xi,yi)ΔSi

в этом случ функц f(x,y) наз интегрир в обл D, D- обл интегрир; х,у-перемен. интегрир; dx,dy( или dS) – элемент площади.

Достаточн усл интегрир функц: если функц z=f(x,y) непрерывн в замкнут обл D,то она интегрир в этой обл.

Геометрич смысл: величина 2-го интеграла от неотриц функц равна V цилиндрич тела V= ʃ ʃ_D f(x,y)dxdy.

Физич смысл: допустим, что нам треб найти массу пластинки, мы находим ее след образом: m= ʃ ʃ_D ץ(x,y)dxdy. 2-ой интеграл от функц ץ(x,y) численно равен масс пластинк, если подинтеграл функц ץ(x,y) считать плотностью этой пластинк в точке (x,y).

Основные сво-ва:

1. ʃ ʃ_D с*f(x,y)dxdy= с*ʃ ʃ_D f(x,y)dxdy - const

2. ʃ ʃ_D (f1(x,y)+(-) f2(x,y))dxdy= ʃ ʃ_D f1(x,y) dxdy+(-) ʃ ʃ_D f2(x,y) dxdy

3. ʃ ʃ_D f(x,y)dxdy= ʃ ʃ_D1 f(x,y)dxdy+ ʃ ʃ_D2 f(x,y)dxdy

4. если в обл D имеет место нер-во f(x,y)>=0, то и ʃ ʃ_D «(f(x,y)dxdy>=0.если в обл D функции f(x,y) и φ(x,y) удовл нер-ву f(x,y)>=φ(x,y), то и ʃ ʃ_D f(x,y)du>= ʃ ʃ_D φ(x,y)du.

5. ʃ ʃ_DdS=S, т.к ∑ⁿ_{i =1}ΔSi = S.

6. mS<= ʃ ʃ_D f(x,y)dxdy<=MS, где m и M – наим и наиб знач-я подынтегр функции в обл D

7. если функц непрерывн в замкнут обл D, полощадь котор S, то в этой обл сущ точка(х0,у0),что ʃ ʃ_D f(x,y)dxdy= f(x0,y0)*S, величину f(x0,y0)=1/S* ʃ ʃ_D f(x,y)dxdy наз средн знач функц f(x,y) в обл D.

7. Определение тройного интеграла, геометрический и физический смысл, основные сво-ва 3-го интеграла.

Обобщением определ интеграла на случ функции 3-х переменных явл так назыв «тройной интеграл».Пусть в замкнут обл V про-ва 0xyz задан непрерывн функц u=f(x,y,z).разбив обл V сеткой пов-стей на n частей Vi(i=1,n) и выбр в кажд из них точку Mi(xi,yi,zi),составим интегр сумму ∑ⁿ_i=1 f(xi,yi,zi)ΔVi для функц f(x,y,z) по обл V(здесь ΔVi – объем элемент функц Vi). Если предел интегр сумм сущ при неогранич увелич числа n т.о.,что кажд элементарн область Vi стягивается в точку, то его наз тройным интегралом от функц u=f(x,y,z) по обл V и обознач ʃʃʃ_Vf(x,y,z)dxdydz, т.о по опр имеем :

ʃʃʃ_Vf(x,y,z)dxdydz=lim_n→∞∑ⁿ_i=1 f(xi,yi,zi)ΔVi=ʃʃʃ_Vf(x,y,z)du (1)

Т.(существ-е): если функц u=f(x,y,z) непрерывн в огранич замкнут обл V, то предел интегральн сумм (1) при n→∞ и maxdi→0 сущ и не завис от способа разбиения обл V на части, ни от выбора точек Mi(xi,yi,zi) в них.

Геометрич смысл: Объем тела V=ʃʃʃ_Vdxdydz (в декарт коорд),V=ʃʃʃ_V rdrdφdz (в цилиндр корд), V=ʃʃʃ_V ρ²sinϴ dρdφdϴ (в сферич корд)

Физич смысл: Масса тела m= ʃ ʃ ʃ_V ץ(x,y,z)dxdydz (ץ(x,y,z)- объемн плотн распредел масс в точке M(x,y,z).

Основные сво-ва:

1. ʃʃʃ_V с*f(x,y,z)dxdydz= с*ʃʃ_V f(x,y,z)dxdydz - const

2. ʃʃʃ_V (f1(x,y,z)+(-) f2(x,y,z))dxdydz= ʃʃ_V f1(x,y,z) dxdydz+(-) ʃʃ_V f2(x,y,z) dxdydz

3. ʃʃʃ_V f(x,y,z)dxdydz= ʃʃ_V1 f(x,y,z)dxdydz+ ʃʃ_V2 f(x,y,z)dxdydz

4. если в обл V имеет место нер-во f(x,y,z)>=0, то и ʃʃ_V f(x,y,z)dxdydz>=0.если в обл V функции f(x,y,z) и φ(x,y,z) удовл нер-ву f(x,y,z)>=φ(x,y,z) то и ʃʃʃ_V f(x,y,z)du>=ʃ ʃʃ_V φ(x,y,z)du.

5. ʃʃʃ_V du=V,т.к в случ f(x,y,z)=1 люб инт сумм имеет вид ∑ⁿ_i=1 ΔVi=V и числ рав V тела.

6. mV<= ʃʃʃ_Vf(x,y,z)dxdydz<=MV, где m и M – наим и наиб знач-я подынтегр функции в обл V.

7. если функц непрерывн в замкнут обл V, то в этой обл сущ точкаM0(х0,у0,z0),что ʃʃʃ_V f(x,y,z)du= f(x0,y0,z0)*V