Лекция № 24 “Ряд Фурье для четных и нечетных функций”
1. Сходимость ряда Фурье.
О4.
Функция
,
определенная на всей числовой оси и
периодическая с периодом
,
называется
периодическим
продолжением
функции
,
если на сегменте
.
Очевидно, что если на сегменте ряд Фурье сходится к функции , то он сходится на всей числовой оси к функции . В связи с этим в заключение лекции рассмотрим теорему о сумме ряда Фурье на всей числовой оси.
Т2.
Пусть функция
и ее производная
непрерывны на сегменте
или имеют на этом интервале конечное
число точек разрыва первого рода. Тогда
ряд Фурье функции
сходится на сегменте
,
причем в каждой точке
,
в которой функция
непрерывна сумма ряда равна
;
в каждой точке разрыва первого рода
функции
сумма
ряда будет равна
,
где
и
;
на
концах сегмента
сумма ряда будет равна
.
Если функция
является периодическим продолжением
функции
,
то аналогичные утверждения имеют место
и для функции
на всей чис-ловой оси.
Пример
1.
Разложить в ряд Фурье периодическое
продолжение функции
на сегменте
.
Так как , то ее периодическое продолжение имеет вид (Рис. 24):
Рис. 24. Периодическое продолжение функции на .
(как
интеграл от нечетной функции по
симметричному интервалу интегрирования
(см. Лекцию
№ 8)).
(как
интеграл от нечетной функции по
симметричному интервалу интегрирования).
(как
интеграл от четной функции по симметричному
интервалу интегрирования)
.
Таким образом, ряд Фурье имеет вид
.
2. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Пусть
функция
определена на сегменте
и является четной функцией, т.е.
,
тогда в ее ряде Фурье все коэффициенты
.
Действительно
(как интеграл от нечетной функции по
симметричному интервалу интегрирования
(см. Лекцию
№ 8)).
С учетом четности функции
остальные коэффициенты вычисляются по
формулам
и
,
где
был использован факт, что определенный
интеграл от четной функции по симметричному
интервалу интегрирования равен
.
Для не-четной на сегменте
функции (
)
коэффициенты ряда Фурье определяются
формулами
и
.
З1. Если функция четна, то в ее ряде Фурье содержатся только
косинусы; в этом случае говорят, что функция разложена в ряд Фурье по косинусам или четным образом. Если функция нечетна, то в ее ряде Фурье содержатся только синусы; в этом случае говорят, что функция разложена в ряд Фурье по синусам или нечетным образом.
Пример
2.
Разложить в ряд Фурье функцию
на сегменте
.
Так как функция , то в ее ряде Фурье все коэффициенты . Найдем оставшиеся коэффициенты ряда Фурье:
;
(вычислить
самостоятельно).
Итак,
ряд Фурье имеет вид:
.
3. Ряд Фурье для функций с периодом и .
Пусть
функция
определена на сегменте
и удовлетворяет всем требованиям теоремы
Фурье, тогда ее можно разложить в ряд
Фурье. Если ввести новую переменную
и рассмотреть функцию
.
Очевидно, что функция
определена на сегменте
и ее разложение в ряд Фурье имеет вид:
,
где коэффициенты ряда определяются формулами
;
;
.
Если
функция
определена на произвольном сегменте
,
периодична с периодом
и удовлетворяет условиям теоремы Фурье,
то ее можно разложить в ряд Фурье, который
имеет вид:
,
где коэффициенты ряда определяются формулами
;
;
.
В заключение отметим, что ряд Фурье является частным случаем функционального ряда, который равномерно сходится к своей сумме. Следовательно, его можно почленно дифференцировать и интегрировать.
Пример
3.
Разложить в ряд Фурье функцию
на сегменте
.
Воспользуемся
разложением в ряд Фурье функции
.
Так как производная
,
то продифференцируем ряд Фурье для
функции
(см. Пример 1 этой Лекции)
.