2. Разложение функций в степенные ряды.

Если функция является суммой степенного ряда

,

который сходится на интервале , то говорят, что на этом интервале функция разлагается в степенной ряд по степеням аргумента . Так как степенной ряд является частным случаем функционального ряда, то в случае равномерной сходимости этого ряда его можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Т4. Если функция на интервале разлагается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Док-во. Так как степенной ряд равномерно сходится на интервале и функция является его суммой, то его можно почленно дифференцировать:

;

;

;

;

………………………………………………………………………;

.

Полагая , найдем

, , , , … , .

В силу того, что коэффициенты ряда однозначно определяются значением функции и ее производными в точке , то разложение функции в степенной ряд единственно и имеет вид:

.

Иначе говорят, что функция представлена в виде ряда Маклорена (см. Лекцию № 21, Первый семестр).

Пример 2. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Найдем значения функции и ее производных вплоть до порядка в точке ;

;

;

;

;

;

;

;

………………………………………

Таким образом, разложение функции в ряд Маклорена имеет вид:

.

Приведем ряды Маклорена для некоторых наиболее часто используемых на практике элементарных функций: ;

;

;

;

;

;

.

Если функция раскладывается в точке , то она представляется степенным рядом Тейлора (см. Лекцию № 21, Первый семестр):

.

Пример 3. Используя стандартное разложение, представить в виде ряда Мак-лорена функцию .

Воспользовавшись разложением в степенной ряд Маклорена функции , получим: .

3. Применение степенных рядов.

1). Вычисление логарифмов. В основе вычислений логарифмов лежит ряд

.

Пример 4. Вычислить с точностью .

Полагая , получим

.

2). Вычисление корней. Для вычисления корней с большой точностью используют обобщенный бином Ньютона

.

Например, требуется вычислить корень -ой степени из числа , прибли-

женное значение целой части которого равна . Требуется уточнить это значение, для чего поступают следующим образом: полагают , тогда

, следовательно, .

Пример 5. Вычислить с точностью .

В данном примере , , , . Таким образом,

, следовательно, .

3). Вычисление неберущихся интегралов.

Пример 6. Вычислить интеграл .

Данный интеграл является неберущимся, так как его первообразная не может быть выражена через элементарные функции (см. Лекцию № 6). Если положить , то получим, что функцию , которую можно представить в виде степенного ряда (см. выше) . Если вернуться к старой переменной, то получим . Этот ряд равномерно сходится, поэтому его можно почленно интегрировать, т.е.

.

Пример 7. Вычислить интеграл с точностью .

Используя результаты предыдущего примера, получим

.

4). Решение дифференциальных уравнений.

Решение дифференциальных уравнений осуществляется с использованием

степенных рядов Тейлора и Маклорена . Применение степенных рядов покажем на конкретном примере:

Пример 8. Найти четыре первых ненулевых члена ряда, являющегося решением задачи Коши: при начальных условиях ; .

Так как в начальных условиях указано, что , то представим искомую функцию в виде ряда Маклорена:

.

Согласно начальным условиям . Вторую производную функции выразим из самого дифференциального уравнения . Подставим в это выражение и учтем начальные условия, тогда вторая производная функции в точке равна . Продифференцировав выражение для второй производной получим выражение для третьей производной функции . Подставим в это выражение , получим

.

Так как это четвертый ненулевой член ряда Маклорена, то решение дифференциального уравнения с учетом начальных условий имеет вид:

.