3. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
1. В абсолютно сходящемся ряде можно произвольно переставлять его члены, при этом сумма ряда не изменится.
2. В абсолютно сходящемся ряде можно произвольно группировать его
члены, при этом сумма ряда не изменится.
3. Если два ряда являются абсолютно сходящимися, то их произведение также будет абсолютно сходящимся рядом. Лекция № 21 “Функциональные ряды”
1. Функциональный ряд. Критерии Коши и Вейерштрассе.
Рассмотрим
ряд, членами которого являются функции.
Пусть задана последовательность функций
,
которые имеют общую область определения.
О1.
Если
в точке
,
то эта точка называется точкой
сходимости
последовательности функций
при условии, что
отлично
от бесконечности.
О2. Совокупность точек сходимости называется областью сходимости последовательности функций .
О3.
Выражение
вида
называется функциональным
рядом.
З1.
Если область
является областью сходимости
последовательности функций
,
то она является также областью сходимости
функционального ряда, членами которого
являются функции последовательности.
О4.
Последовательность
функций
называется равномерно
сходящейся к
функции
на
области
,
если
выполняется равенство
.
О5.
Функциональный
ряд
называется равномерно
сходящимся
на
области
,
если
равномерно сходится последовательность
частичных сумм
.
О6.
Суммой
функционального ряда называется предел
последовательности частичных сумм
при
,
т.е.
.
Рассмотрим критерий Коши, который устанавливает признак равномерной сходимости любой последовательности.
Т1.
Для того, чтобы последовательность
функций
равномерно сходилась на области
определения
,
необходимо и достаточно, чтобы для
любого положительного числа
существовал бы такой номер
,
что
,
и любого положительного числа
выполнялось неравенство
.
Док-во.
1). Необходимость.
Пусть последовательность функций
на области
равномерно сходится к функции
(
).
Это означает,
что
для любого положительного числа
существует такой номер
,
что
и
выполняется неравенство
.
Так как это
неравенство
выполняется
,
то оно справедливо и для всех номеров
,
т.е.
.
Тогда можно записать, что
.
2).
Достаточность.
Пусть
выполняется неравенство
.
Докажем сходимость последовательности
функций
на области
,
а затем ее равномерную сходимость к
функции
(
).
Так как для любого фиксированного
значения
получаем числовую последовательность,
то при сходимости этой числовой
последовательности будет сходится и
функциональная последовательность
,
причем
.
Это говорит о том, что для любого
положительного числа
существует такой номер
,
что
и
выполняется
.
Перейдем в исходном неравенстве к
пределу при
,
получим
.
Полагая
,
находим, что последовательность функций
на области
равномерно сходится к функции
(
),
что эквивалентно выполнению предельного
равенства
.
Рассмотрим признак сходимости функционального ряда согласно критерию Вейерштрассе.
Т2.
Пусть на области определения
функционального ряда
,
каждый член которого ограничен, т.е.
(
– некоторые числа, которые мажорируют
функции
).
Если числовой ряд
сходится, то сходится и функциональный
ряд
.
Док-во. Так как и числовой ряд сходится, то по признаку сравнения функциональный ряд тоже сходится.
З2.
Если последовательность частичных сумм
функционального ряда равномерно сходится
к функции
,
то согласно критерию Коши фун-
кциональный ряд также будет равномерно сходиться к функции . Если каждый член функционального ряда ограничен, то согласно кри-
терию Вейерштрассе из сходимости мажорантного числового ряда следует сходимость функционального ряда.
З3.
Сходимость функционального ряда
может быть установлена по признаку
Даламбера
.