Лекция № 20 “Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница”

1. Признак Лейбница.

Рассмотрим ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки, причем для удобства изучения будем считать, первый член ряда всегда имеет положительный знак.

О1. Ряд вида ( ) на-зывается знакочередующимся рядом.

Для изучения сходимости таких рядов применяют достаточный признак схо-димости Лейбница:

Т1. Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда образуют монотонно убывающую последовательность ( ) и общий член последовательности при стремится к нулю ( ), то ряд сходится. При нарушении хотя бы одного условия теоремы ряд расходится.

Док-во. Пусть дан знакочередующийся ряд и пусть и . Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов

.

Все разности в круглых скобках положительны в силу монотонного убывания последовательности, составленной из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда, поэтому последовательность сумм с четным числом членов ряда является возрастающей. Докажем, что она ограничена сверху, для чего представим частичную сумму в виде

.

Так как величина, стотящая в квадратных скобках положительна, то , т.е. для любого последовательность частичных сумм с четным числом членов будет ограниченной. Отсюда следует существование конечного предела частичных сумм с четным числом членов, т.е. . Последовательность частичных сумм с нечетным числом членов можно записать в виде . Перейдем в этом равенстве к пределу при , получим

,

так как по второму условию теоремы. Таким образом, произ-вольная последовательность частичных сумм членов знакочередующегося ряда сходится к пределу , что говорит о сходимости знакочередующегося ряда.

З1. Отметим, что в зависимости от того, как группируются члены знакочередующегося ряда можно получить любое число, например, пусть дан ряд . Если сгруппировать его члены следующим образом , то получим, что его сумма равна единице, а если сгруппировать так , то получим, что его сумма равна нулю.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

В развернутом виде данный ряд имеет вид . Последовательность, составленная из абсолютных величин членов этого ряда, удовлетворяет обоим условиям признака Лейбница: а) – монотонно убывает; б) . Отсюда следует, что данный ряд сходится.

2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных ряда.

О2. Ряд, члены которого имеют произвольные знаки, называется знако-переменным или произвольным.

З2. Знакочередующиеся ряды являются частным случаем переменных рядов.

Пусть дан ряд , члены которого могут быть отрицательными, нулевыми или положительными. Составим из модулей членов ряда новый ряд , т.е. этот ряд состоит только из положительных членов.

Т2. Если ряд сходится, то сходится и ряд .

Док-во. Пусть ряд сходится. Обозначим через его -ую частичную

сумму. В силу того, что ряд сходится, то . Очевидно, что для любого числа выполняется неравенство , так как члены ряда неотрицательны. Составим из ряда два ряда и , составленные из положительных и отрицательных членов, соответственно. Обозначим частичные суммы этих рядов через и , соответственно. Тогда -ая частичная сумма ряда будет равна . Ясно, что последовательности частичных сумм и не убывают, так как члены рядов и удовлетворяют неравенствам и . Следовательно, по признаку сравнения из сходимости ряда следует сходимость рядов и , т.е. и . Тогда . Из полученного равенства следует, что ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда, получим ряд . Данная сумма представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем , которая равна , т.е. полученный ряд сходится. По признаку сравнения сходится и исходный ряд.

О3. Если ряд, составленный из модулей членов переменного ряда, сходится, то исходный переменный ряд называется абсолютно сходящимся.

О4. Если ряд, составленный из модулей членов переменного ряда, расходится, а исходный переменный ряд сходится, то переменный ряд называется условно сходящимся.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

При ряд, составленный из модулей членов знакочередующегося ряда, сходится (см. Лекцию № 19), следовательно, исходный ряд является абсолютно сходящимся. При ряд, составленный из модулей членов знакочередующегося ряда, расходится, но по признаку Лейбница исходный переменный ряд будет сходиться, следовательно, исходный переменный ряд является условно сходящимся.