При , при , при , при , при , следовательно, общий член ряда .

Построим из членов ряда новую последовательность чисел так:

; ; ; ; . . . . . . . . . ; .

Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соответствующего числа первых членов числового ряда.

О2. Величина называется -ой частичной суммой числового ряда.

З2. Так как числовой ряд содержит бесконечное число членов, то и последовательность частичных сумм будет содержать бесконечно много членов.

Пример 3. Вычислить первые четыре частичные суммы ряда .

; ; ; .

О3. Ряд называется сходящимся, если , где конечное число называется суммой числового ряда, т.е. . Если предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 4. Проверить на сходимость ряд .

Для того чтобы вычислить -ую частичную сумму представим общий член ряда в виде суммы простых дробей

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов . Откуда находим, что , а . Следовательно, общий член ряда имеет вид . Вычислим -ую частичную сумму :

.

Из записи -ой частичной суммы видно, что после раскрытия скобок и

сокращения подобных членов, она примет вид . Вычислим сумму ряда . Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.

О4. Исследование ряда на сходимость с использованием -ой частичной суммы называется исследованием ряда на сходимость по определению.

2. Свойства сходящихся рядов.

1. Отбрасывание конечного числа членов сходящегося ряда не влияет на сходимость этого ряда.

Док-во. Пусть ряд сходится и его сумма равна . Отбросим первых членов ряда и обозначим их сумму через , а через – сумму оставшегося ряда с отброшенными членами, тогда . Переходя к пределу при , получим . Так как полученное число конечно, то ряд с отброшенными первыми членами ряда также сходится.

2. Если все члены сходящегося ряда умножить на число , то сходимость ряда не нарушается, а его сумма увеличится в раз.

3. Два сходящихся ряда и можно почленно складывать и вычитать, при этом сумма получающегося ряда , соответственно.

4. Необходимым, но недостаточным, признаком сходимости ряда является стремление общего члена ряда к нулю при бесконечном возрастании нумератора , т.Е. .

Док-во. Представим общий член ряда в виде разности -ой и -ой частичных сумм: . Из сходимости ряда в силу единственности предела имеем , поэтому ( ) .

З3. Из рассмотренного свойства следует, что при выполнении условия обращения в нуль общего члена ряда при бесконечном возрастании нумератора, ряд может сходиться, а может и расходиться (ряд подозрителен на сходимость). Если , то ряд однозначно расходится. В связи с этим при исследовании рядов на сходимость первым всегда применяют необходимый признак сходимости, а затем – достаточные признаки сходимости.

Пример 5. Установить возможность сходимости рядов

1). ; 2). ; 3). .

1). Для первого ряда общий член ряда , поэтому – ряд подозрителен на сходимость.

2). Для второго ряда общий член ряда , поэтому – ряд подозрителен на сходимость.

3). Для третьего ряда общий член ряда , поэтому – ряд подозрителен на сходимость. В силу того, что , то ряд представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой равен , т.е. . Так как сумма ряда конечна, то ряд сходится.

З4. Отметим, что последний ряд при расходится, так как в этом случае его сумма равна бесконечности. Первый ряд, несмотря на выполнение необходимого признака, расходится, а второй ряд – сходится, что будет доказано ниже.

Пример 6. Установить возможность сходимости рядов и (самостоятельно).

Лекция №19 “Достаточные признаки сходимости положительных рядов”

1. Сравнение рядов.

О1. Если все члены ряда положительны, то ряд называется положительным.

Для положительных рядов всегда существует сумма, а частичные суммы удовлетворяют неравенству , так как , а и . Рассмотрим достаточные признаки сходимости рядов.

Т1. (признак сравнения) Если для двух положительных рядов и , начиная с некоторого номера , выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда – расходимость ряда .

Док-во. Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, то без ограничения общности доказательства можно считать, что неравенство выполняется с первых членов этих рядов. Обозначим -ые частичные суммы этих рядов через и . Пусть ряд сходится и его сумма равна . Следовательно, частичные суммы этого ряда ограничены

сверху суммой ряда, т.е. . Так как и последовательности и неубывающие, то , т.е. ряд сходится. Аналогично доказывается и последнее утверждение теоремы (доказать самостоятельно).

З1. В качестве рядов сравнения чаще всего используют ряды: , который сходится при и расходится при ; , который сходится при и расходится при .

Пример 1. Сравнить ряды и , выяснить их сходимость.

Необходимый признак сходимости очевидно выполняется для обоих рядов. Ряд сходится по признаку сравнения, так как начиная с первого члена каждый член этого ряда меньше каждого члена ряда , который сходится, так как для этого ряда . В свою очередь, начиная с первого члена каждый член ряда будет меньше каждого члена ряда , следовательно, по признаку сравнения этот ряд также сходится.