3.Показательная форма записи комплексного числа.
Известно, что любую дифференцируемую функцию можно представить по формуле Тейлора-Маклорена (см. Лекцию № 21 Первый семестр), например,
.
Последняя формула
называется формулой Эйлера. Используя
эту формулу, запишем комплексное число
в показательной
форме:
.
Отсюда видно, что при нахождении
произведения и отношения комплексных
чисел получаем
.
Лекция № 4 “Интегрирование рациональных дробей”
1. Полиномы. Разложение полиномов на простые множители.
Напомним, что полиномом -ой степени называется выражение вида
,
где числа
,
а переменная величина
может принимать как действительные,
так и комплексные значения.
Т1.
(теорема Безу) Если полином степени
разделить на выражение
,
то остаток деления будет равен
.
Док-во.
Пусть
,
где
-
остаток деления. Полагая
,
получим
,
следовательно,
.
Сл.
Если
является корнем уравнения
,
то остаток деления равен нулю, т.е.
.
Рассмотрим основные теоремы алгебры:
Т2. Любой полином степени имеет хотя бы один корень (действительный или мнимый).
Т3.
(о разложении полинома на простые
множители) Любой полином степени
можно представить в виде произведения
коэффициента при старшей степени
на
множителей вида
,
где
– корни уравнения
,
т.е.
.
Док-во.
Воспользуемся следствием из теоремы
Безу:
.
Поступая аналогично, найдем, что
,
… ,
,
.
Пример 1.
Разложить на простые множители полином
.
Найдем корни
уравнения
.
Дискриминант уравнения
,
следовательно,
.
Таким образом, разложение полинома на
простые множители имеет вид:
.
Т4.
Если
является комплексным корнем полинома
,
то комплексно-сопряженное число
также является корнем этого полинома.
Пример 2.
Найти корни полинома
.
Найдем корни
уравнения
.
Дискриминант уравнения
,
следовательно,
.
Отсюда видно, что
.
З1. Из данного примера видно, что комплексно-сопряженные корни представляются в разложении полинома на простые множители в виде квадратных многочленов с отрицательными дискриминантами.
О1. Если
корень
повторяется в разложении полинома на
простые мно-жители
раз, то он называется кратным
корнем
или
корнем
кратности
.
Пример 3.
Разложить на простые множители полином
.
Данный полином
представляет собой полный квадрат,
поэтому после сворачивания он принимает
вид
,
т.е. корень
является корнем кратности 2.
2. Итегрирование рациональных дробей.
Метод неопределенных коэффициентов.
О2. Отношение
двух полиномов
называется рациональной
дробью.
Если
,
то дробь называется правильной,
а в случае, когда
–
неправильной.
Пример 4. Выяснить, какие дроби явлются правильными, а какие – непра-вильными:
а)
– правильная рациональная дробь;
б)
– неправильная рациональная дробь;
в)
– неправильная рациональная дробь.
Если рациональная дробь неправильная, то можно выделить “целую” часть так же, как и в случае обычной неправильной дроби:
_
257 3 – знаменатель дроби
85
– целая часть
_ 17
2 – остаток деления
При делении полинома на полином надо обращать внимание на старшие степени этих полиномов и числовые множители при них. В качестве примера выделения “целой” части у неправильной дроби рассмотрим отношение
И
так,
– знаменатель дроби
– «целая
часть»
– остаток
деления
Таким
образом, можно записать, что
.
З2. Деление числителя на знаменатель дроби прекращается тогда, когда в остатке деления получается полином, порядок которого становится меньше порядка полинома, стоящего в знаменателе.
Итегрирование рациональных дробей проводится по следующей методической схеме: Если рациональная дробь неправильная, то выделяют “целую” часть, которая легко интегрируется (интегралы от “целой” части являются табличными (см. таблицу неопределенных интегралов от степенной функции в Лекции № 1 Второго семестра)) и правильную рациональную дробь, интегрирование которой проводится следующим образом (покажем схему на конкретном примере):
Пример
5.
Вычислить
.
1. Знаменатель правильной рациональной дроби раскладывают на простые множители.
В
данном примере надо разложить на простые
множители полином
По теореме Виета корнями уравнения
будут
,
следо-вательно,
.
2. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму простых дробей, число которых равно числу простых сомножителей в разложении знаменателя дроби на простые множители
(для
данной дроби имеем три простых сомножителя,
следовательно, будет три простых дроби)
.
3. В знаменатели простых дробей пишут один из простых множителей знаменателя правильной рациональной дроби
.
4. В числитель простой дроби пишут полином с неизвестными коэффициентами, степень которого на единицу ниже, чем степень полинома, стоящего в знаменателе простой дроби
.
З3.
В случае кратных корней количество
простых дробей определяется кратностью
корня, причем в знаменатели простых
дробей записывается кратный корень с
увеличением его степени на единицу,
пока не будет достигнута кратность
корня. Степень полинома для всех этих
дробей, который записывается в числитель
простой дроби определяется по первой
степени кратного корня. Например,
.
З4. Литеру использовать не рекомендуется, так как она задействована в роли постоянной интегрирования.