Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
LECT_2.01.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
4.12 Mб
Скачать

3.Показательная форма записи комплексного числа.

Известно, что любую дифференцируемую функцию можно представить по формуле Тейлора-Маклорена (см. Лекцию № 21 Первый семестр), например,

.

Последняя формула называется формулой Эйлера. Используя эту формулу, запишем комплексное число в показательной форме: . Отсюда видно, что при нахождении произведения и отношения комплексных чисел получаем .

Лекция № 4 “Интегрирование рациональных дробей”

1. Полиномы. Разложение полиномов на простые множители.

Напомним, что полиномом -ой степени называется выражение вида

,

где числа , а переменная величина может принимать как действительные, так и комплексные значения.

Т1. (теорема Безу) Если полином степени разделить на выражение , то остаток деления будет равен .

Док-во. Пусть , где - остаток деления. Полагая , получим , следовательно, .

Сл. Если является корнем уравнения , то остаток деления равен нулю, т.е. .

Рассмотрим основные теоремы алгебры:

Т2. Любой полином степени имеет хотя бы один корень (действительный или мнимый).

Т3. (о разложении полинома на простые множители) Любой полином степени можно представить в виде произведения коэффициента при старшей степени на множителей вида , где – корни уравнения , т.е.

.

Док-во. Воспользуемся следствием из теоремы Безу: . Поступая аналогично, найдем, что

, … , , .

Пример 1. Разложить на простые множители полином .

Найдем корни уравнения . Дискриминант уравнения , следовательно, . Таким образом, разложение полинома на простые множители имеет вид: .

Т4. Если является комплексным корнем полинома , то комплексно-сопряженное число также является корнем этого полинома.

Пример 2. Найти корни полинома .

Найдем корни уравнения . Дискриминант уравнения , следовательно, . Отсюда видно, что .

З1. Из данного примера видно, что комплексно-сопряженные корни представляются в разложении полинома на простые множители в виде квадратных многочленов с отрицательными дискриминантами.

О1. Если корень повторяется в разложении полинома на простые мно-жители раз, то он называется кратным корнем или корнем кратности .

Пример 3. Разложить на простые множители полином .

Данный полином представляет собой полный квадрат, поэтому после сворачивания он принимает вид , т.е. корень является корнем кратности 2.

2. Итегрирование рациональных дробей.

Метод неопределенных коэффициентов.

О2. Отношение двух полиномов называется рациональной дробью. Если , то дробь называется правильной, а в случае, когда неправильной.

Пример 4. Выяснить, какие дроби явлются правильными, а какие – непра-вильными:

а) – правильная рациональная дробь;

б) – неправильная рациональная дробь;

в) – неправильная рациональная дробь.

Если рациональная дробь неправильная, то можно выделить “целую” часть так же, как и в случае обычной неправильной дроби:

_ 257 3 – знаменатель дроби

85 – целая часть

_ 17

2 – остаток деления

При делении полинома на полином надо обращать внимание на старшие степени этих полиномов и числовые множители при них. В качестве примера выделения “целой” части у неправильной дроби рассмотрим отношение

И так, – знаменатель дроби

– «целая часть»

– остаток деления

Таким образом, можно записать, что .

З2. Деление числителя на знаменатель дроби прекращается тогда, когда в остатке деления получается полином, порядок которого становится меньше порядка полинома, стоящего в знаменателе.

Итегрирование рациональных дробей проводится по следующей методической схеме: Если рациональная дробь неправильная, то выделяют “целую” часть, которая легко интегрируется (интегралы от “целой” части являются табличными (см. таблицу неопределенных интегралов от степенной функции в Лекции № 1 Второго семестра)) и правильную рациональную дробь, интегрирование которой проводится следующим образом (покажем схему на конкретном примере):

Пример 5. Вычислить .

1. Знаменатель правильной рациональной дроби раскладывают на простые множители.

В данном примере надо разложить на простые множители полином По теореме Виета корнями уравнения будут , следо-вательно, .

2. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму простых дробей, число которых равно числу простых сомножителей в разложении знаменателя дроби на простые множители

(для данной дроби имеем три простых сомножителя, следовательно, будет три простых дроби) .

3. В знаменатели простых дробей пишут один из простых множителей знаменателя правильной рациональной дроби

.

4. В числитель простой дроби пишут полином с неизвестными коэффициентами, степень которого на единицу ниже, чем степень полинома, стоящего в знаменателе простой дроби

.

З3. В случае кратных корней количество простых дробей определяется кратностью корня, причем в знаменатели простых дробей записывается кратный корень с увеличением его степени на единицу, пока не будет достигнута кратность корня. Степень полинома для всех этих дробей, который записывается в числитель простой дроби определяется по первой степени кратного корня. Например, .

З4. Литеру использовать не рекомендуется, так как она задействована в роли постоянной интегрирования.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]