2. Метод замены переменной интегрирования.
Данный метод
основан на формуле
.
Метод замены переменной интегрирования применяется в двух случаях:
а)
Если аргумент функции отличается от
простого аргумента
,
то этот сложный аргумент принимается
в качестве новой переменной интегрирования
.
Пример 8.
Вычислить
.
Так как показатель
степени экспоненты отличается от
простого аргумета
,
то этот показатель степени принимаем
в качестве новой переменной интегрирования,
т.е.
.
З4. После нахождения первообразной с новой переменной интегрирования надо обязательно вернуться к старой переменной интегрирования.
Пример 9.
Вычислить
.
Выражение, стоящее в круглых скобках, является аргументом степенной функции и отличается от простого аргумета , поэтому принимаем его в качестве новой переменной интегрирования, т.е.
.
Пример 10.
Вычислить
.
Выражение, стоящее в круглых скобках, является аргументом функции синус и отличается от простого аргумета , поэтому принимаем его в качестве новой переменной интегрирования, т.е.
.
б)
Если элементарная функция, содержащаяся
в подинтегральном выражении, имеет
простой аргумент и в качестве множителя
при
присутствует первая производная этой
функции, то в качестве новой переменной
интегрирования принимается эта
элементарная функция.
Пример 11.
Найти
.
В подинтегральном
выражении содержится элементарная
функция
и в ка-
честве множителя при присутствует ее первая производная , следовательно, в качестве новой переменной интегрирования принимаем :
.
Пример 12.
Найти
.
Данный пример объединяет первый метод с методом замены переменной интегрирования. Выполним почленное деление числителя дроби на ее знаменатель и разобъем интеграл на два интеграла, для которых применяются два случая замены переменной интегрирования
.
З5. Умение отыскивать подходящую замену вырабатывается в процессе многократных упражнений, однако можно указать ряд случаев, когда можно сразу увидеть необходимую замену переменной интегрирования при анализе подинтегрального выражения, например,
.
Из показанных примеров видно, что умение хорошо интегрировать зависит от хорошего знания таблицы производных от элементарных функций (см. Лекцию № 18 из Первого семестра).
3. Метод интегрирования по частям.
Интегрирование
по частям основано на использовании
формулы дифференциала от произведения
двух функций
,
откуда находим, что произведение
.
Таким образом, для неопределенного
интеграла формула
интегрирования по частям
имеет вид:
.
Для того чтобы
знать, какую из функций принимать за
(все остальное в
подинтегральном
выражении принимается за
),
рассмотрим наиболее час-
то встречающиеся случаи:
1.
,
где
– полином (многочлен) порядка
.
В
этом случае
.
З6. Для нахождения
функции
используют определение дифференциала
функции (см. Лекцию
№ 19
Первого семестра).
При вычислении функции
интегрируют выражение
,
при этом постоянная интегрирования
полагается равной нулю (
).
После выполнения этих действий применяют
формулу интегрирования по частям.
Пример 13.
Вычислить
.
Применим метод интегрирования по частям
.
З7. Из приведенного примера видно, что при необходимости метод интегрирования по частям применяется повторно.
2.
Для интегралов вида
.
Пример 14.
Вычислить
.
Действуя согласно методике, получим
.
3.
Для интегралов вида
,
которые называются возвратными, на
первом шаге интегрирования безразлично,
какую из функций (показательную
или тригонометрическую
)
принимать в качестве функции
.
Однако на втором шаге в качестве функции
надо обязательно принимать ту из функций
(показательную
или тригонометрическую
),
которая была принята на первом шаге, в
противном случае интеграл возвращается
к своему исходному виду при отсутствии
проинтегрированной части.
Пример 15.
Найти
.
(если
сейчас в качестве функции
выбрать экспоненту, то интеграл вернется
к своему пер-воначальному виду при
отсутствии проинтегрированной части;
убедитесь в этом самостоятельно)
.
Решим полученное уравнение относительно
буквы
:
;
.
Отсюда находим, что
.