Лекция № 16 “лнду II с постоянными коэффициентами со специальной правой частью”

1. Лнду II со специальной правой частью.

Рассмотрим ЛНДУ II с постоянными коэффициентами в случаях специальной правой части.

З1. В случае специальной правой части можно найти частное решение ЛНДУ II с постоянными коэффициентами по виду правой части.

I специальный вид правой части: , где – полином порядка . В этом случае частное решение ЛНДУ II с постоянными коэф-фициентами ищут в виде , где – полином порядка с неизвестными коэффициентами, подлежащими отысканию.

Найдем первую и вторую производные от частного решения:

;

.

Подставляя все найденные величины в дифференциальное уравнение, после группировки и сокращения обеих частей уравнения на , получим

.

Отметим, что является полином порядка , а – полином порядка . Рассмотрим возможные случаи:

1) , т.е. число не является корнем характеристического уравнения . Это означает, что в левой и правой частях уравнения стоят полиномы одинакового порядка. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях аргумента, получают систему линейных алгебраичес-

ких уравнений для неизвестных коэффициентов полинома .

2) и , т.е. число совпадает с одним из корней характеристического уравнения . Это означает, что в левой части уравнения стоит полином порядка , поэтому в этом случае частное решение надо искать в виде .

3) и , т.е. число совпадает с обоими корнями характеристического уравнения . Это означает, что в левой части уравнения стоит полином порядка , поэтому в этом случае частное решение надо искать в виде .

Обобщая рассмотренные случаи, можно записать частное решение для I случая специальной правой части в виде:

З2. К I случаю специальной правой части относятся также случаи, когда , .

Пример 1. Решить ДУ II .

Согласно изложенной методике найдем решение однородного уравнения, которое ищем в виде , тогда

.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид . Дис-криминант этого квадратного уравнения . Корни уравнения в этом случае вещественны и совпадают , следовательно, два частных линейно-независимых решения можно выбрать в виде и . Тогда общее решение ЛОДУ II с постоянными коэффициентами в данном случае будет иметь вид: . Проанализируем правую часть данного ЛНДУ II, приведя ее к теоретическому виду:

.

Следовательно, , поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде . Найдем первую и вторую производные этой функции и подставим найденные функции в исходное уравнение

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях аргумента находим

Решаем эту систему и определяем неизвестные коэффициенты: , следовательно, . Таким образом, частное решение неоднородного ДУII имеет вид: . Общее решение неодно-родного ДУII тогда равно .

II специальный вид правой части: . В этом случае частное решение ЛНДУII с постоянными коэффициентами ищут в виде , где , если комплексное число не является корнем характеристического уравнения, и , если комплексное число является корнем характеристического уравнения.

З3. Частными случаями являются варианты правой части, когда или , или , или , или комбинация из пар и . Случай, когда одновременно и , относится к I специальному виду правой части.

З4. Сравнивать комплексное число с корнями характеристического уравнения надо только тогда, когда это уравнение имеет отрицательный диcкриминант.

Пример 2. Решить ДУ II .

Согласно изложенной методике найдем решение однородного уравнения, которое ищем в виде , тогда

.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид . Корни уравнения в этом случае комплексные и равны , следовательно, вели-чины и . Два частных линейно-независимых решения однородного ДУ II имеют вид и . Тогда общее решение ЛОДУ II с постоянными коэффициентами в данном случае будет иметь вид: . Проанализируем правую часть данного ЛНДУ II, приведя ее к тео-

ретическому виду: , т.е. , а . Следовательно, комплексное число , поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде

.

Найдем первую и вторую производные этой функции и подставим найденные функции в исходное уравнение

или . Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях находим . Решаем эту систему и определяем неизвестные коэффициенты: , а коэффициент . Таким образом, частное решение неоднородного ДУ II имеет вид: . Общее решение неоднородного ДУ II тогда равно .