2. Линейные неоднородные ду II с постоянными коэффициентами.
О2.
Уравнение
вида
называется линейным
неоднородным
дифференциальным уравнением второго
порядка (ЛНДУ
II).
Т1.
(о
структуре общего решения ЛНДУ II)
Общее решение ЛНДУ II
можно представить в виде суммы общего
решения соответствующего ему ЛОДУ II
:
и любого частного решения
исходного ЛНДУ II,
т.е.
.
Док-во.
Так как общее решение ЛОДУ II
,
то общее решение ЛНДУ II
будет иметь вид
.
Докажем, при любых вещественных числах
и
данная функция является решением ЛНДУ
II.
Подставляя в ЛНДУ II
функцию
,
получим
.
Докажем, что за счет выбора постоянных и можно удовлетворить любым допустимым ненулевым начальным условиям
и
.
Так
как функция
,
то
,
следовательно,
.
Отсюда получаем систему линейных
алгебраических уравнений относительно
констант
и
:
.
Главным определителем этой системы является вронскиан
,
который в точке отличен от нуля. Следовательно, система имеет единственное решение (см. метод Крамера, Лекция № 3, Первый семестр) относительно постоянных и .
3. Метод вариации постоянных.
Для отыскания решения ЛНДУ II с постоянными коэффициентами Лагранж предложил метод вариации постоянных, который состоит в следующем:
–
находят
решение линейного однородного
дифференциального уравнения II
порядка с постоянными коэффициентами
;
–
предполагают,
что коэффициенты
и
также
являются функциями аргумента, т.е. общее
решение ЛНДУ II
с постоянными коэффициентами ищут в
виде
;
– находят первую производную общего решения
;
–
в
силу произвольности функций
и
выбирают их так, чтобы выполнялось
равенство
;
– находят вторую производную общего решения
;
– все полученные величины подставляют в заданное ЛНДУ II с постоян-ными коэффициентами
,
одинаково
подчеркнутые величины равны нулю, так
как образуют ЛОДУ II
с постоянными коэффициентами, поэтому
уравнение преобразовывается к виду
;
–
составляют
систему линейных алгебраических
уравнений относительно функций
и
из полученных выше соотношений
;
– решают систему и находят функции и ;
– интгерируют полученные выражения и находят функции и ;
– записывают общее решение ЛНДУ II с постоянными коэффициентами
.
З1. Метод вариации постоянных применим и в том случае, когда в качестве коэффициентов выступают функции.
Пример
4.
Решить ДУ II
.
Решим
однородное ДУ II
.
В этом уравнении в явном виде от-сутствует
функция
,
следовательно (см. Лекцию
№ 14),
проведем замену
и с учетом того факта, что
,
ДУ II
сводится к ДУ I
с разделяющимися переменными
.
Потенциируя
полученное равенство находим, что
.
Разделяя переменные и интегрируя,
получим
.
Из этого выражения видно, что два частных линейно-независимых решения
однородного
уравнения имеют вид
и
.
Решение неоднородного ДУ II
будем искать в виде
.
Запишем систему линейных алгебраических
уравнений относительно функций
и
.
Из
второго уравнения системы находим, что
,
тогда из первого уравнения системы
.
Интегрируя полученные выражения, находим
и
.
Таким образом, общее решение неоднородного
ДУ II
равно
.